Espaces vectoriels

Les structures avec une opération de plus : multiplier par un réel, et mesurer enfin un ensemble abstrait.

Mathématiques · Algèbre et géométrie · chapitre 12 sur 12

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Définition et sous-espaces vectoriels

Tout se lit en parallèle du chapitre 11 : là où il y avait groupe, il y a espace vectoriel ; là où il y avait sous-groupe, il y a sous-espace. Ce parallèle divise par deux ce qu'il y a à apprendre.

y = 2x — l'origine y est

y = 2x + 1 — l'origine n'y est pas

Le test vaut dans tout espace vectoriel, y compris ceux qui ne se dessinent pas : on y cherche le polynôme nul, ou la fonction nulle.

Le premier réflexe devant un candidat sous-espace vectoriel est de chercher le vecteur NUL. S'il n'y est pas, c'est fini : la partie n'est pas un sous-espace, et une ligne suffit à le dire. La droite de gauche passe par l'origine, donc elle survit au test et il reste à vérifier la stabilité. Celle de droite ne passe pas par l'origine : elle est écartée immédiatement. Le dessin ne vaut ici que pour ℝ², mais le TEST, lui, vaut partout — dans l'espace des polynômes, c'est le polynôme nul qu'on cherche ; dans celui des fonctions, la fonction nulle.

Reconnaître une loi de composition externe
Connaître la définition d'un espace vectoriel réel et ses règles de calcul
Reconnaître les espaces vectoriels usuels
Démontrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel

35 question(s) avec un compte gratuit

Combinaisons linéaires, familles libres et liées

La question centrale du chapitre : dans une famille de vecteurs, y en a-t-il un de trop ? La réponse se rédige toujours de la même façon, et c'est le sens de cette rédaction qu'il faut tenir.

Les trois déterminants de paires valent 3, 3 et −3 : aucune paire n'est liée. Le rang de la famille est 2, et (u ; v) seule est libre.

« Liée » ne veut pas dire « il y a deux vecteurs colinéaires ». Ces trois vecteurs le montrent : aucune paire d'entre eux n'est proportionnelle, et la famille est pourtant liée, parce que le troisième est la SOMME des deux premiers. Le parallélogramme tracé le rend visible. Ce qui définit une famille liée, c'est qu'un de ses vecteurs s'écrit comme combinaison des autres — une combinaison peut mettre en jeu tous les vecteurs à la fois, pas seulement deux. Le dessin ne vaut ici que pour trois vecteurs du plan, mais le contresens qu'il ferme, lui, se produit à toutes les tailles.

Écrire et reconnaître une combinaison linéaire
Étudier la dépendance ou l'indépendance linéaire d'une famille

8 question(s) avec un compte gratuit

Bases et dimension

Le point d'arrivée du chapitre, et du programme. Une base donne à chaque vecteur des coordonnées uniques ; la dimension donne à l'espace tout entier un nombre. C'est la première fois qu'on mesure un objet abstrait.

Sur la base canonique — (4 ; 2)

Sur la base (u ; v) — (2 ; 0)

Le nombre de coordonnées, lui, ne change jamais : c'est la dimension, et c'est bien un cardinal — deux, dans les deux bases.

C'est le même vecteur, au même endroit, dans les deux figures — seule la base a changé, et avec elle la liste des coordonnées. Sur la base canonique, il s'écrit 4e₁ + 2e₂ : coordonnées (4 ; 2). Sur la base (u ; v), il s'écrit 2u, c'est-à-dire 2u + 0v : coordonnées (2 ; 0). Un vecteur n'EST donc pas la liste de ses coordonnées ; il en a une par base, et toutes le désignent. Ce qui ne change pas d'une base à l'autre, en revanche, c'est le NOMBRE de coordonnées : deux ici, et c'est cela, la dimension.

Déterminer une base d'un espace ou d'un sous-espace vectoriel
Déterminer la dimension d'un espace vectoriel réel

24 question(s) avec un compte gratuit