الفضاءات المتجهية

البنيات مع عملية زايدة: كتضرب فعدد حقيقي، وكتقيس أخيرا مجموعة مجردة.

Mathématiques · الجبر والهندسة · الفصل 12 من 12

هذا الفصل يُفتح بحساب مجاني. وهذا ما تحمله الشجرة العمومية منه: نية كل جزء، ورسومه العمومية، ومهاراته.

التعريف والفضاءات المتجهية الجزئية

كل شيء يُقرأ بموازاة الفصل 11 : حيث كانت الزمرة يوجد الفضاء المتجهي، وحيث كانت الزمرة الجزئية يوجد الفضاء المتجهي الجزئي. والمقرر يطلب هذه الموازاة صراحة، وهي تختصر ما يجب تعلمه إلى النصف.

y = 2x — l'origine y est

y = 2x + 1 — l'origine n'y est pas

Le test vaut dans tout espace vectoriel, y compris ceux qui ne se dessinent pas : on y cherche le polynôme nul, ou la fonction nulle.

Le premier réflexe devant un candidat sous-espace vectoriel est de chercher le vecteur NUL. S'il n'y est pas, c'est fini : la partie n'est pas un sous-espace, et une ligne suffit à le dire. La droite de gauche passe par l'origine, donc elle survit au test et il reste à vérifier la stabilité. Celle de droite ne passe pas par l'origine : elle est écartée immédiatement. Le dessin ne vaut ici que pour ℝ², mais le TEST, lui, vaut partout — dans l'espace des polynômes, c'est le polynôme nul qu'on cherche ; dans celui des fonctions, la fonction nulle.

التعرف على قانون تركيب خارجي
معرفة تعريف فضاء متجهي حقيقي وقواعد حسابه
التعرف على الفضاءات المتجهية الاعتيادية
بيان أن جزءا فضاء متجهي جزئي

35 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

التأليفات الخطية والأسر الحرة والأسر المرتبطة

السؤال المركزي في الفصل : هل في أسرة من المتجهات متجهة زائدة ؟ الجواب يُحرَّر دائما بالطريقة نفسها، والمطلوب هو الإمساك بمعنى هذا التحرير لا بشكله.

Les trois déterminants de paires valent 3, 3 et −3 : aucune paire n'est liée. Le rang de la famille est 2, et (u ; v) seule est libre.

« Liée » ne veut pas dire « il y a deux vecteurs colinéaires ». Ces trois vecteurs le montrent : aucune paire d'entre eux n'est proportionnelle, et la famille est pourtant liée, parce que le troisième est la SOMME des deux premiers. Le parallélogramme tracé le rend visible. Ce qui définit une famille liée, c'est qu'un de ses vecteurs s'écrit comme combinaison des autres — une combinaison peut mettre en jeu tous les vecteurs à la fois, pas seulement deux. Le dessin ne vaut ici que pour trois vecteurs du plan, mais le contresens qu'il ferme, lui, se produit à toutes les tailles.

كتابة تأليف خطي والتعرف عليه
دراسة ارتباط أسرة أو استقلالها الخطي

8 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

الأسس والبعد

نقطة الوصول في الفصل، وفي المقرر كله. الأساس يمنح كل متجهة إحداثيات وحيدة ؛ والبعد يمنح الفضاء كله عددا. وهي المرة الأولى التي نقيس فيها كائنا مجردا.

Sur la base canonique — (4 ; 2)

Sur la base (u ; v) — (2 ; 0)

Le nombre de coordonnées, lui, ne change jamais : c'est la dimension, et c'est bien un cardinal — deux, dans les deux bases.

C'est le même vecteur, au même endroit, dans les deux figures — seule la base a changé, et avec elle la liste des coordonnées. Sur la base canonique, il s'écrit 4e₁ + 2e₂ : coordonnées (4 ; 2). Sur la base (u ; v), il s'écrit 2u, c'est-à-dire 2u + 0v : coordonnées (2 ; 0). Un vecteur n'EST donc pas la liste de ses coordonnées ; il en a une par base, et toutes le désignent. Ce qui ne change pas d'une base à l'autre, en revanche, c'est le NOMBRE de coordonnées : deux ici, et c'est cela, la dimension.

تحديد أساس فضاء متجهي أو فضاء متجهي جزئي
تحديد بعد فضاء متجهي حقيقي

24 سؤال/أسئلة بحساب مجاني