Arithmétique

Les entiers, et rien d'autre : trois théorèmes, et la division euclidienne qui les relie tous.

Mathématiques · Algèbre et géométrie · chapitre 11 sur 12

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Divisibilité, division euclidienne et bases

Tout le chapitre sort d'un seul énoncé : la division euclidienne. Elle donne les congruences, l'algorithme d'Euclide, et jusqu'à l'écriture des nombres dans une base.

Utiliser la divisibilité et la division euclidienne dans ℤ
Écrire un entier dans une base b et y effectuer somme et produit
Calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide, et un PPCM

42 question(s) avec un compte gratuit

Bézout, Gauss et équations diophantiennes

Les deux théorèmes qui font le chapitre. Bézout donne l'existence d'une solution, Gauss donne toutes les autres — et l'équation ax+by=c est l'endroit où ils travaillent ensemble.

Démontrer que deux entiers sont premiers entre eux
Appliquer le théorème de Bézout et déterminer des coefficients
Appliquer le théorème de Gauss
Résoudre dans ℤ² une équation ax + by = c

13 question(s) avec un compte gratuit

Nombres premiers

Reconnaître un nombre premier et démontrer qu'il y en a une infinité.

Ce qu'il faut voir: Les diviseurs ne viennent jamais seuls : ils viennent par COUPLES dont le produit vaut 72. Il y en a douze, donc six couples, et pas un de plus.
La raison du test: Si 72 = a × b avec a ≤ b, alors a ≤ √72 : sinon a et b seraient tous deux plus grands que √72 et leur produit dépasserait 72. Donc CHERCHER au-delà de √72 ne peut plus rien trouver de neuf — on retomberait sur le grand membre d'un couple dont on a déjà vu le petit.
Le cas limite: La paire (8 ; 9) enjambe √72 ≈ 8,49 d'un cheveu, et c'est elle qui rend la règle crédible : même quand les deux facteurs se touchent presque, le petit reste du bon côté. C'est aussi pourquoi le nombre choisi n'est pas 36 — √36 = 6 est un diviseur, la paire centrale se refermerait sur elle-même, et on croirait que c'est toujours le cas.
Ce que ça coûte en moins: Le cours le chiffre sur un autre nombre : « pour tester 211, il suffit d'essayer les premiers jusqu'à √211 ≈ 14,5, soit 2, 3, 5, 7, 11, 13. Six essais au lieu de deux cents. »
Pas une symétrie: Les arcs ne sont pas symétriques autour de la barre, et la figure ne le prétend pas : √72 est la moyenne GÉOMÉTRIQUE de chaque paire. Ce qui est vrai, et qui suffit, c'est que chaque paire l'ENJAMBE.

Les douze diviseurs de 72, appariés par leur produit. Chaque arc enjambe la barre de √72 : son petit facteur est à gauche, son grand à droite, sans exception. Voilà pourquoi un test de primalité peut s'arrêter là — au-delà, on ne rencontrerait plus que des grands facteurs de couples déjà vus.

Reconnaître un nombre premier et utiliser leurs propriétés

6 question(s) avec un compte gratuit

Décomposition, PGCD et PPCM

Une seule décomposition en facteurs premiers répond à trois questions : le PGCD, le PPCM et le nombre de diviseurs.

Décomposer en facteurs premiers et en déduire PGCD, PPCM et diviseurs

3 question(s) avec un compte gratuit

Congruences, ℤ/nℤ, Fermat et cryptage

Calculer avec les restes plutôt qu'avec les nombres. C'est ce qui rend 7¹⁰⁰ abordable sans calculatrice, et ce qui fait de l'arithmétique la base du chiffrement.

Utiliser les congruences modulo n
Calculer dans ℤ/nℤ et résoudre des équations de congruence
Appliquer le petit théorème de Fermat
Appliquer l'arithmétique à un problème de cryptage

43 question(s) avec un compte gratuit