Calcul de probabilités

Compter, puis diviser : toute la difficulté est avant le calcul, dans l'ordre et la remise.

Mathématiques · Algèbre et géométrie · chapitre 10 sur 10

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Dénombrement

Choisir la bonne formule ne s'apprend pas par cœur : cela se décide par deux questions, toujours les mêmes, toujours dans le même ordre. Poser ces deux questions avant d'écrire quoi que ce soit règle la quasi-totalité des erreurs du chapitre.

Dénombrer à l'aide du principe fondamental du dénombrement
Dénombrer des arrangements, avec ou sans répétition
Dénombrer des combinaisons et utiliser les propriétés de Cᵖₙ

2 piège(s) avec un compte gratuit · 25 question(s) avec un compte gratuit

Probabilité d'un événement

Une fois le dénombrement fait, la probabilité est une division. Toute la valeur ajoutée est dans le choix de par quoi passer — et « au moins un » passe presque toujours par son contraire.

Calculer la probabilité d'un événement sous l'hypothèse d'équiprobabilité
Calculer la probabilité d'une réunion, d'une intersection et d'un contraire

4 question(s) avec un compte gratuit

Probabilité conditionnelle et indépendance

Ce qui change quand on sait déjà quelque chose. L'univers se rétrécit à l'événement connu — et c'est tout ce que dit la formule. L'indépendance est le cas où il ne se passe rien.

Les deux règles: La probabilité d'un CHEMIN est le PRODUIT des probabilités portées par ses branches ; celle d'un ÉVÉNEMENT est la SOMME des chemins qui y mènent. Il n'y en a pas de troisième.
Ce qui se voit: À droite, le second étage porte les mêmes nombres sous les deux branches : savoir ce qu'a donné le premier tirage ne change rien au second. À gauche il ne les porte pas — 2/7 sous R₁, 3/7 sous N₁ — et c'est exactement ce que veut dire « les tirages ne sont pas indépendants ».
Le contrôle gratuit: La somme des branches issues d'un même nœud vaut 1, et la somme des quatre chemins aussi. Les deux sont refaits en exact par l'outil qui dessine, qui refuse de tracer un arbre qui ne les tient pas.
L'exemple du cours: Le chemin en trait ÉPAIS, à gauche : p(R₁ ∩ R₂) = 3/8 × 2/7 = 3/28. C'est le calcul de l'exemple de la partie, et c'est aussi, à droite, le seul endroit où la figure et le texte se recoupent chiffre pour chiffre.

On multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins qui mènent au même événement. Les deux arbres portent la même urne — 3 rouges, 5 noires — et deux tirages ; le seul écart entre eux est la remise. Il ne se voit qu'au second étage, et c'est lui qui décide de l'indépendance.

Calculer et utiliser une probabilité conditionnelle
Reconnaître l'indépendance de deux événements ou de deux épreuves

8 question(s) avec un compte gratuit

Variables aléatoires et loi binomiale

On passe de l'événement au nombre : combien de rouges, quel gain, quelle durée. La loi binomiale est le seul modèle nommé du programme, et reconnaître qu'on est dedans vaut plus de points que le calcul lui-même.

Ce qu'on lit d'abord: Où est la masse. Les deux plus gros bâtons sont en k = 1 et k = 2, à égalité — 80/243 chacun — et tout s'effondre ensuite : 1/243 pour cinq succès, soit moins d'une chance sur deux cents.
L'espérance: E(X) = 5/3 ≈ 1,67 n'est pas la valeur la plus probable : c'est le POINT D'ÉQUILIBRE des six masses, et le triangle sur l'axe le dit. Elle tombe ENTRE k = 1 et k = 2, sur aucun bâton. Une espérance n'est pas une valeur que la variable prend.
Pourquoi rien entre deux entiers: X compte des succès : elle vaut 0, 1, 2… et jamais 1,4. Des barres accolées dessineraient un continuum et feraient croire le contraire. C'est la même faute que relier les points d'une suite.
Les trois conditions: Les 5 lancers sont IDENTIQUES, INDÉPENDANTS, et à DEUX ISSUES. Les trois, ou ce n'est pas une loi binomiale — et un tirage sans remise échoue à la deuxième. C'est le piège du chapitre, et l'arbre pondéré de pro-p3 le montre de l'autre côté.

Une loi discrète n'a de valeur qu'en 0, 1, 2… : on la dessine en bâtons séparés, jamais en barres accolées. La hauteur de chaque bâton est sa probabilité, la somme des six vaut 1, et l'espérance n'est pas le plus haut bâton — c'est le point où le diagramme s'équilibre.

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire
Calculer l'espérance et l'écart type d'une variable aléatoire
Reconnaître et appliquer la loi binomiale

1 piège(s) avec un compte gratuit · 16 question(s) avec un compte gratuit