حساب الاحتمالات

كتعد، ومن بعد كتقسم: الصعوبة كلها قبل الحساب، فالترتيب وفالإحلال.

Mathématiques · الجبر والهندسة · الفصل 10 من 10

هذا الفصل يُفتح بحساب مجاني. وهذا ما تحمله الشجرة العمومية منه: نية كل جزء، ورسومه العمومية، ومهاراته.

التعداد

اختيار الصيغة المناسبة لا يُتعلم عن ظهر قلب: بل يُحسم بسؤالين، هما نفسهما دائما، وبنفس الترتيب دائما. طرح هذين السؤالين قبل كتابة أي شيء يحل تقريبا كل أخطاء الفصل.

التعداد باستعمال المبدأ الأساسي في التعداد
تعداد الترتيبات، بإحلال أو بدونه
تعداد التوفيقات واستعمال خاصيات Cᵖₙ

2 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 25 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

احتمال حدث

متى تم التعداد، صار الاحتمال قسمة. وكل القيمة المضافة في اختيار الطريق الذي نمر منه — و«على الأقل واحد» تمر دائما تقريبا عبر الحدث المضاد.

حساب احتمال حدث في حالة تساوي الاحتمال
حساب احتمال اتحاد وتقاطع وحدث مضاد

4 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

الاحتمال الشرطي والاستقلالية

ما الذي يتغير حين نعلم شيئا مسبقا. يضيق الكون ليصير هو الحدث المعلوم — وهذا كل ما تقوله الصيغة. أما الاستقلالية فهي الحالة التي لا يحدث فيها شيء.

Les deux règles: La probabilité d'un CHEMIN est le PRODUIT des probabilités portées par ses branches ; celle d'un ÉVÉNEMENT est la SOMME des chemins qui y mènent. Il n'y en a pas de troisième.
Ce qui se voit: À droite, le second étage porte les mêmes nombres sous les deux branches : savoir ce qu'a donné le premier tirage ne change rien au second. À gauche il ne les porte pas — 2/7 sous R₁, 3/7 sous N₁ — et c'est exactement ce que veut dire « les tirages ne sont pas indépendants ».
Le contrôle gratuit: La somme des branches issues d'un même nœud vaut 1, et la somme des quatre chemins aussi. Les deux sont refaits en exact par l'outil qui dessine, qui refuse de tracer un arbre qui ne les tient pas.
L'exemple du cours: Le chemin en trait ÉPAIS, à gauche : p(R₁ ∩ R₂) = 3/8 × 2/7 = 3/28. C'est le calcul de l'exemple de la partie, et c'est aussi, à droite, le seul endroit où la figure et le texte se recoupent chiffre pour chiffre.

On multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins qui mènent au même événement. Les deux arbres portent la même urne — 3 rouges, 5 noires — et deux tirages ; le seul écart entre eux est la remise. Il ne se voit qu'au second étage, et c'est lui qui décide de l'indépendance.

حساب احتمال شرطي واستعماله
التعرف على استقلالية حدثين أو اختبارين

8 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

المتغيرات العشوائية والقانون الحداني

ننتقل من الحدث إلى العدد: كم كرة حمراء، وأي ربح، وأي مدة. القانون الحداني هو النموذج الوحيد المسمى في المقرر، والتعرف على أننا داخله يساوي من النقط أكثر من الحساب نفسه.

Ce qu'on lit d'abord: Où est la masse. Les deux plus gros bâtons sont en k = 1 et k = 2, à égalité — 80/243 chacun — et tout s'effondre ensuite : 1/243 pour cinq succès, soit moins d'une chance sur deux cents.
L'espérance: E(X) = 5/3 ≈ 1,67 n'est pas la valeur la plus probable : c'est le POINT D'ÉQUILIBRE des six masses, et le triangle sur l'axe le dit. Elle tombe ENTRE k = 1 et k = 2, sur aucun bâton. Une espérance n'est pas une valeur que la variable prend.
Pourquoi rien entre deux entiers: X compte des succès : elle vaut 0, 1, 2… et jamais 1,4. Des barres accolées dessineraient un continuum et feraient croire le contraire. C'est la même faute que relier les points d'une suite.
Les trois conditions: Les 5 lancers sont IDENTIQUES, INDÉPENDANTS, et à DEUX ISSUES. Les trois, ou ce n'est pas une loi binomiale — et un tirage sans remise échoue à la deuxième. C'est le piège du chapitre, et l'arbre pondéré de pro-p3 le montre de l'autre côté.

Une loi discrète n'a de valeur qu'en 0, 1, 2… : on la dessine en bâtons séparés, jamais en barres accolées. La hauteur de chaque bâton est sa probabilité, la somme des six vaut 1, et l'espérance n'est pas le plus haut bâton — c'est le point où le diagramme s'équilibre.

تحديد قانون احتمال متغير عشوائي
حساب الأمل الرياضي والانحراف الطرازي لمتغير عشوائي
التعرف على القانون الحداني وتطبيقه

1 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 16 سؤال/أسئلة بحساب مجاني