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Mathématiques

Géométrie dans l'espace

Deux produits, scalaire et vectoriel : presque tout l'exercice de bac consiste à choisir lequel des deux.

Mathématiques · Algèbre et géométrie · chapitre 9 sur 10

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Produit scalaire et orthogonalité

Rien de nouveau par rapport au plan : le produit scalaire de l'espace se pose comme celui du plan, et toutes ses propriétés sont admises. Ce qui change, c'est ce qu'on en fait : dans l'espace, il sert à fabriquer des plans.

  • Calculer un produit scalaire dans l'espace et l'exprimer analytiquement
  • Démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ou de deux droites

4 question(s) avec un compte gratuit

Plans, droites et distances

Le cœur du chapitre. Un plan se décrit par un point et un vecteur normal — et les coefficients de son équation sont ce vecteur normal. Ce va-et-vient gratuit débloque la moitié des questions du bac.

𝒫 O H d = 8 ⁄ √14 ≈ 2,14 x y z
Plan 𝒫
2x− y + 3z − 8 = 0 — il passe par A(1 ; 0 ; 2)
Vecteur normal
n(2 ; −1 ; 3), de norme √14
Le point
O(0 ; 0 ; 0)
La formule
d = |2xO + … + −8| ⁄ ‖n‖ = 8 ⁄ √14 ≈ 2,14
Le pied H
H ≈ (1,14 ; −0,57 ; 1,71) — c'est le SEUL point du plan à cette distance, et ce que la formule mesure sans le calculer
La formule donne un nombre ; le dessin donne le point où ce nombre se mesure. On descend de O le long de la normale jusqu'au plan : le pied H est atteint, et OH est plus court que tout autre chemin de O vers le plan. C'est pour cela que la distance se mesure perpendiculairement, et pas autrement.
𝒟 t = −1 A t = 1 t = 2 x y z
Un point, un vecteur
A(0 ; −4 ; 1) et u(2 ; 1 ; 1) — il n'en faut pas plus
Représentation
x = 0 + 2t   ;   y = −4 + 1t   ;   z = 1 + 1t,   t ∈ ℝ
Ce que t fabrique
t = −1 → (−2 ; −5 ; 0)  ·  A → (0 ; −4 ; 1)  ·  t = 1 → (2 ; −3 ; 2)  ·  t = 2 → (4 ; −2 ; 3)
Le piège
changer de point de départ OU de vecteur directeur donne une AUTRE représentation de LA MÊME droite — il n'y en a pas une
t n'est pas une inconnue : c'est un curseur. Chaque valeur fabrique un point, et tous les points de la droite sont fabriqués une fois et une seule. Le vecteur directeur donne le pas ; le point A donne le départ.
  • Déterminer une équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal
  • Déterminer une représentation paramétrique de droite et l'utiliser
  • Calculer la distance d'un point à un plan

11 question(s) avec un compte gratuit

Sphères et intersections

Une équation en x2+y2+z2 n'est pas toujours une sphère : elle peut être un point, ou l'ensemble vide. La forme canonique tranche, et toutes les questions d'intersection se décident ensuite par une comparaison de nombres.

𝒮 𝒫 Ω B ΩB = R = 3 x y z
Sphère 𝒮
Ω(1 ; −2 ; 3), R = 3
Point de contact
B(3 ; −1 ; 1) — il est SUR la sphère : ‖ΩB‖ = 3 = R
Vecteur normal
ΩB(2 ; 1 ; −2) — c'est lui, et rien d'autre
Plan tangent 𝒫
2x + y− 2z − 3 = 0
Contrôle gratuit
d(Ω, 𝒫) = 3 = R — le critère « d = R » du bloc précédent, lu à l'envers
Le vecteur normal du plan tangent n'est pas à chercher : c'est ΩB, le rayon qui aboutit au point de contact. Tout le reste est l'équation d'un plan par un point et un vecteur normal, déjà vue à la partie 2. Et le contrôle est gratuit : la distance du centre au plan trouvé doit valoir R exactement.
Ω 𝒮 R = 3 d ≈ 1,73 𝒟 P₁ P₂ x y z 1 2 −8 −4 4 8 t 6t² − 12t = 0 t₁ t₂
d = √3 ≈ 1,732 (d < R)
Sphère 𝒮
x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 5 = 0, soit Ω(1 ; −2 ; 3) et R = 3
Droite 𝒟
vecteur directeur u(2 ; 1 ; 1), passant par A(0 ; −4 ; 1)
Distance à Ω
d = √3 ≈ 1,732 (d < R)
On remplace, il reste
6t² − 12t = 0
Discriminant
Δ = 144, strictement positif
Racines en t
t₁ = 0 et t₂ = 2
Conclusion
𝒮 ∩ 𝒟 = {P₁ ; P₂} — DEUX points de percée
Les points
P₁(0 ; −4 ; 1) et P₂(4 ; −2 ; 3)
On remplace la représentation paramétrique de 𝒟 dans l'équation de 𝒮 : il reste une équation du second degré en t. Le signe de son discriminant et le nombre de points de percée ne sont pas deux résultats qui se ressemblent — c'est le même résultat, lu deux fois.
𝒮 𝒫₁ Ω R = 3 d = 1,8 x y z

d < R — 𝒫₁ : 3x + 4z − 6 = 0
d = 1,8
𝒮 ∩ 𝒫₁ est le CERCLE de centre H(−0,08 ; −2 ; 1,56) et de rayon r = √(R² − d²) = 2,4

𝒮 𝒫₂ Ω T R = 3 d = 3

d = R — 𝒫₂ : 3x + 4z = 0
d = 3
𝒮 ∩ 𝒫₂ est le POINT T(−0,8 ; −2 ; 0,6) : 𝒫₂ est TANGENTE à la sphère

𝒮 𝒫₃ Ω R = 3 d = 4

d > R — 𝒫₃ : 3x + 4z + 5 = 0
d = 4
𝒮 ∩ 𝒫₃ = ∅ : le plan ne rencontre pas la sphère

Une seule comparaison décide des trois cas : celle de la distance du centre au plan avec le rayon. Le rayon du cercle de section, r = √(R² − d²), se lit alors comme le troisième côté d'un triangle rectangle — et il s'annule exactement quand d atteint R.
  • Reconnaître et caractériser une sphère à partir de son équation
  • Étudier l'intersection d'une sphère et d'un plan, déterminer un plan tangent
  • Étudier l'intersection d'une sphère et d'une droite
  • Reconnaître l'ensemble des points M vérifiant une relation vectorielle

1 piège(s) avec un compte gratuit · 35 question(s) avec un compte gratuit

Produit vectoriel — aires, plans et distances

La seconde opération du chapitre, et celle qui rend service : elle fabrique un vecteur orthogonal à deux autres. C'est ce qui permet d'obtenir un plan à partir de trois points, sans résoudre le moindre système.

u v u ∧ v O x y z
Les deux vecteurs
u(1 ; 2 ; −1) et v(3 ; −1 ; 1)
Le produit vectoriel
u ∧ v(1 ; −4 ; −7) — perpendiculaire aux DEUX, c'est ce que le dessin montre
Sa norme
‖u ∧ v‖ = √66 ≈ 8,12
Ce qu'elle vaut
l'AIRE du parallélogramme teinté — pas une longueur, une aire. Le triangle en vaut la moitié : √66 ⁄ 2
Le contrôle
u ∧ v · u = 0 et u ∧ v · v = 0 — nuls tous les deux, comme il se doit
Un cas particulier
ici u · v = 0 : les deux vecteurs sont ORTHOGONAUX, donc le parallélogramme est un RECTANGLE. Son aire vaut alors simplement ‖u‖ × ‖v‖ = √6 × √11 = √66 — le même nombre par un autre chemin. En général les côtés ne sont PAS perpendiculaires et seul le produit vectoriel donne l'aire.
La norme du produit vectoriel n'est pas une longueur : c'est l'AIRE du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. La flèche perpendiculaire dit la direction ; c'est sa LONGUEUR qui porte l'aire — et l'aire du triangle en est la moitié.
  • Calculer un produit vectoriel et interpréter sa norme
  • Déterminer une équation d'un plan défini par trois points non alignés
  • Calculer l'aire d'un triangle à l'aide du produit vectoriel
  • Calculer la distance d'un point à une droite

22 question(s) avec un compte gratuit