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Mathématiques

الهندسة الفضائية

جوج جداءات، السلمي والمتجهي: تمرين الباك كامل تقريبا هو باش تختار واحد فيهوم.

Mathématiques · الجبر والهندسة · الفصل 9 من 10

هذا الفصل يُفتح بحساب مجاني. وهذا ما تحمله الشجرة العمومية منه: نية كل جزء، ورسومه العمومية، ومهاراته.

الجداء السلمي والتعامد

لا جديد بالمقارنة مع المستوى : فالجداء السلمي في الفضاء يوضع كما يوضع في المستوى، وجميع خاصياته مقبولة. والذي يتغيّر هو ما نفعله به : ففي الفضاء، يخدم في صنع المستويات.

  • حساب جداء سلمي في الفضاء والتعبير عنه تحليليا
  • إثبات تعامد متجهتين أو مستقيمين

4 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

المستويات والمستقيمات والمسافات

قلب الفصل. يُوصف المستوى بنقطة ومتجهة منظمية — ومعاملات معادلته هي بعينها هذه المتجهة المنظمية. وهذا الذهاب والإياب المجّاني يفكّ نصف أسئلة الباكالوريا.

𝒫 O H d = 8 ⁄ √14 ≈ 2,14 x y z
Plan 𝒫
2x− y + 3z − 8 = 0 — il passe par A(1 ; 0 ; 2)
Vecteur normal
n(2 ; −1 ; 3), de norme √14
Le point
O(0 ; 0 ; 0)
La formule
d = |2xO + … + −8| ⁄ ‖n‖ = 8 ⁄ √14 ≈ 2,14
Le pied H
H ≈ (1,14 ; −0,57 ; 1,71) — c'est le SEUL point du plan à cette distance, et ce que la formule mesure sans le calculer
La formule donne un nombre ; le dessin donne le point où ce nombre se mesure. On descend de O le long de la normale jusqu'au plan : le pied H est atteint, et OH est plus court que tout autre chemin de O vers le plan. C'est pour cela que la distance se mesure perpendiculairement, et pas autrement.
𝒟 t = −1 A t = 1 t = 2 x y z
Un point, un vecteur
A(0 ; −4 ; 1) et u(2 ; 1 ; 1) — il n'en faut pas plus
Représentation
x = 0 + 2t   ;   y = −4 + 1t   ;   z = 1 + 1t,   t ∈ ℝ
Ce que t fabrique
t = −1 → (−2 ; −5 ; 0)  ·  A → (0 ; −4 ; 1)  ·  t = 1 → (2 ; −3 ; 2)  ·  t = 2 → (4 ; −2 ; 3)
Le piège
changer de point de départ OU de vecteur directeur donne une AUTRE représentation de LA MÊME droite — il n'y en a pas une
t n'est pas une inconnue : c'est un curseur. Chaque valeur fabrique un point, et tous les points de la droite sont fabriqués une fois et une seule. Le vecteur directeur donne le pas ; le point A donne le départ.
  • تحديد معادلة ديكارتية لمستوى انطلاقا من نقطة ومتجهة منظمية
  • تحديد تمثيل بارامتري لمستقيم واستعماله
  • حساب مسافة نقطة عن مستوى

11 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

الفلكات والتقاطعات

المعادلة التي تتضمّن x2+y2+z2 ليست فلكة دائما : فقد تكون نقطة، وقد تكون المجموعة الفارغة. والشكل القانوني هو الذي يحسم، ثمّ تُحسم كلّ أسئلة التقاطع بمقارنة عددين اثنين لا غير.

𝒮 𝒫 Ω B ΩB = R = 3 x y z
Sphère 𝒮
Ω(1 ; −2 ; 3), R = 3
Point de contact
B(3 ; −1 ; 1) — il est SUR la sphère : ‖ΩB‖ = 3 = R
Vecteur normal
ΩB(2 ; 1 ; −2) — c'est lui, et rien d'autre
Plan tangent 𝒫
2x + y− 2z − 3 = 0
Contrôle gratuit
d(Ω, 𝒫) = 3 = R — le critère « d = R » du bloc précédent, lu à l'envers
Le vecteur normal du plan tangent n'est pas à chercher : c'est ΩB, le rayon qui aboutit au point de contact. Tout le reste est l'équation d'un plan par un point et un vecteur normal, déjà vue à la partie 2. Et le contrôle est gratuit : la distance du centre au plan trouvé doit valoir R exactement.
Ω 𝒮 R = 3 d ≈ 1,73 𝒟 P₁ P₂ x y z 1 2 −8 −4 4 8 t 6t² − 12t = 0 t₁ t₂
d = √3 ≈ 1,732 (d < R)
Sphère 𝒮
x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 5 = 0, soit Ω(1 ; −2 ; 3) et R = 3
Droite 𝒟
vecteur directeur u(2 ; 1 ; 1), passant par A(0 ; −4 ; 1)
Distance à Ω
d = √3 ≈ 1,732 (d < R)
On remplace, il reste
6t² − 12t = 0
Discriminant
Δ = 144, strictement positif
Racines en t
t₁ = 0 et t₂ = 2
Conclusion
𝒮 ∩ 𝒟 = {P₁ ; P₂} — DEUX points de percée
Les points
P₁(0 ; −4 ; 1) et P₂(4 ; −2 ; 3)
On remplace la représentation paramétrique de 𝒟 dans l'équation de 𝒮 : il reste une équation du second degré en t. Le signe de son discriminant et le nombre de points de percée ne sont pas deux résultats qui se ressemblent — c'est le même résultat, lu deux fois.
𝒮 𝒫₁ Ω R = 3 d = 1,8 x y z

d < R — 𝒫₁ : 3x + 4z − 6 = 0
d = 1,8
𝒮 ∩ 𝒫₁ est le CERCLE de centre H(−0,08 ; −2 ; 1,56) et de rayon r = √(R² − d²) = 2,4

𝒮 𝒫₂ Ω T R = 3 d = 3

d = R — 𝒫₂ : 3x + 4z = 0
d = 3
𝒮 ∩ 𝒫₂ est le POINT T(−0,8 ; −2 ; 0,6) : 𝒫₂ est TANGENTE à la sphère

𝒮 𝒫₃ Ω R = 3 d = 4

d > R — 𝒫₃ : 3x + 4z + 5 = 0
d = 4
𝒮 ∩ 𝒫₃ = ∅ : le plan ne rencontre pas la sphère

Une seule comparaison décide des trois cas : celle de la distance du centre au plan avec le rayon. Le rayon du cercle de section, r = √(R² − d²), se lit alors comme le troisième côté d'un triangle rectangle — et il s'annule exactement quand d atteint R.
  • التعرف على فلكة وتمييز خاصياتها انطلاقا من معادلتها
  • دراسة تقاطع فلكة ومستوى، وتحديد مستوى مماس
  • دراسة تقاطع فلكة ومستقيم
  • التعرف على مجموعة النقط M المحققة لعلاقة متجهية

1 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 35 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

الجداء المتجهي — المساحات والمستويات والمسافات

العملية الثانية في الفصل، وهي التي تسدي الخدمة : فهي تصنع متجهة متعامدة مع متجهتين أخريين. وهذا ما يسمح بالحصول على مستوى انطلاقا من ثلاث نقط، دون حلّ أيّ نظمة.

u v u ∧ v O x y z
Les deux vecteurs
u(1 ; 2 ; −1) et v(3 ; −1 ; 1)
Le produit vectoriel
u ∧ v(1 ; −4 ; −7) — perpendiculaire aux DEUX, c'est ce que le dessin montre
Sa norme
‖u ∧ v‖ = √66 ≈ 8,12
Ce qu'elle vaut
l'AIRE du parallélogramme teinté — pas une longueur, une aire. Le triangle en vaut la moitié : √66 ⁄ 2
Le contrôle
u ∧ v · u = 0 et u ∧ v · v = 0 — nuls tous les deux, comme il se doit
Un cas particulier
ici u · v = 0 : les deux vecteurs sont ORTHOGONAUX, donc le parallélogramme est un RECTANGLE. Son aire vaut alors simplement ‖u‖ × ‖v‖ = √6 × √11 = √66 — le même nombre par un autre chemin. En général les côtés ne sont PAS perpendiculaires et seul le produit vectoriel donne l'aire.
La norme du produit vectoriel n'est pas une longueur : c'est l'AIRE du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. La flèche perpendiculaire dit la direction ; c'est sa LONGUEUR qui porte l'aire — et l'aire du triangle en est la moitié.
  • حساب جداء متجهي وتأويل منظمه
  • تحديد معادلة مستوى معرَّف بثلاث نقط غير مستقيمية
  • حساب مساحة مثلث باستعمال الجداء المتجهي
  • حساب مسافة نقطة عن مستقيم

22 سؤال/أسئلة بحساب مجاني