Nombres complexes

Un nombre dont le carré vaut moins un, et toute la géométrie du plan devient du calcul.

Mathématiques · Algèbre et géométrie · chapitre 8 sur 10

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Écriture algébrique, opérations et conjugué

On calcule dans ℂ exactement comme dans ℝ, avec une règle de plus : i²=−1. Tout le reste — l'inverse, le quotient, le test « est-ce réel ? » — se déduit du conjugué.

le reflet — z̄ est le symétrique de z

z = z̄ — z est réel

z = −z̄ — z est imaginaire pur

Le conjugué: si z = 2 + i alors z̄ = 2 − i — même partie réelle, partie imaginaire opposée
Géométriquement: le point d'affixe z̄ est le SYMÉTRIQUE de celui d'affixe z par rapport à l'axe des réels
Premier test: z est réel ⟺ z = z̄ ⟺ le point est SUR l'axe des réels
Second test: z est imaginaire pur ⟺ z = −z̄ ⟺ le point est SUR l'axe des imaginaires
À quoi ça sert: montrer qu'un quotient est réel, c'est montrer un alignement ; qu'il est imaginaire pur, c'est montrer une orthogonalité

Le conjugué n'est pas une opération de calcul de plus : c'est le reflet dans l'axe des réels. Un point égale son reflet exactement quand il est sur le miroir — c'est le premier test ; il est l'opposé de son reflet exactement quand il est sur la perpendiculaire au miroir — c'est le second.

Manipuler l'écriture algébrique d'un nombre complexe
Calculer somme, produit, inverse et quotient de nombres complexes
Utiliser le conjugué et ses propriétés

24 question(s) avec un compte gratuit

Module, argument et forme trigonométrique

Deux nombres suffisent à repérer un complexe autrement que par ses coordonnées : sa distance à l'origine et son angle. C'est cette écriture qui rend les produits faciles — et qui fera de la rotation une simple multiplication.

|z_B − z_A| = AB — le module est une longueur

arg(z_B − z_A) — l'argument est un angle

l'angle en A — on soustrait le SOMMET

Les deux points: z_A = −1 − i et z_B = −1 + 2√3 + i
Leur différence: z_B − z_A = 2√3 + 2i
Son module: |z_B − z_A| = 4, et c'est exactement la longueur AB
Son argument: arg(z_B − z_A) = π/6 (30°) [2π], et c'est exactement la direction de la droite (AB)
L'angle en A: arg((z_C − z_A)/(z_B − z_A)) = π/2 (90°) [2π] — le quotient est imaginaire pur, donc (AB) et (AC) sont perpendiculaires

Soustraire z_A, c'est ramener A à l'origine — et une fois A à l'origine, le module de ce qui reste EST la longueur AB, et son argument EST la direction de (AB). C'est pour ça que le sommet de l'angle est ce qu'on soustrait : la règle de la méthode n'est pas une convention à retenir, c'est ce que fait la soustraction.

angle dont on tourne — arg a θ = π/2 (90°)

Le point z: z = 1 + i√3, avec |z| = 2 et arg z = π/3 (60°) [2π]
Le multiplicateur: a = 1,5i, avec |a| = 1,5 et arg a = π/2 (90°) [2π]
Le produit: az = −1,5√3 + 1,5i
Le module multiplie: |az| = |a| × |z| = 1,5 × 2 = 3
L'argument additionne: arg(az) = arg a + arg z = π/2 + π/3 = 5π/6 (150°)
Autrement dit: multiplier par a, c'est la rotation de centre O et d'angle π/2 (90°), suivie de l'homothétie de centre O et de rapport 1,5.

Le module multiplie et l'argument additionne — ce ne sont pas deux règles de calcul à retenir séparément, ce sont les deux moitiés d'un seul geste. Le triangle O, 1, z est reporté sur O, a, az : même forme, tourné de arg a, agrandi de |a|. Le produit reste sur son cercle de rayon 3 tout le tour : c'est |az| = |a| × |z| qu'on voit, au lieu de le lire.

Calculer un module et l'interpréter comme une distance
Déterminer un argument et passer à la forme trigonométrique

6 question(s) avec un compte gratuit

Notation exponentielle, Euler et Moivre

Une notation qui change tout : écrite e^iθ, la forme trigonométrique obéit aux règles du chapitre 5. Les formules de trigonométrie qu'on apprenait par cœur se retrouvent alors par un calcul d'une ligne.

θ = π/6 — six pas, et z⁶ = −1

θ = 2π/5 — le cinquième pas ramène à z₀

La formule: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ), c'est-à-dire (e^iθ)ⁿ = e^inθ
Ce qu'on voit: les puissances successives sont des points régulièrement espacés sur le cercle unité — un pas de θ à chaque fois
Le module: il vaut 1 à toutes les puissances, et c'est l'avertissement du chapitre : l'exponentielle complexe ne grandit pas, contrairement à eˣ
À quoi ça sert: développer — cos(3θ) en fonction de cos θ s'obtient en développant (cos θ + i sin θ)³ et en identifiant les parties réelles

Élever à la puissance n multiplie l'argument par n et laisse le module à 1 : les puissances sont donc des pas d'un même angle sur le cercle. La seconde vignette referme la boucle en cinq pas : z⁵ = 1.

Utiliser la notation exponentielle, les formules d'Euler et de Moivre
Établir des formules trigonométriques et linéariser avec les complexes

5 question(s) avec un compte gratuit

Équations du second degré dans ℂ

La raison historique d'être des complexes : dans ℂ, toute équation du second degré a des solutions. Le discriminant négatif ne bloque plus, il donne deux racines conjuguées.

Résoudre dans ℂ une équation du second degré à coefficients réels

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Complexes et géométrie — transformations du plan

La partie qui rapporte, et celle sur laquelle le programme insiste le plus : traduire une figure en calcul. Distance, angle, alignement, orthogonalité, chacun a sa traduction, et l'exercice de bac consiste à choisir la bonne.

angle de la rotation — θ θ = π/2 (90°)

L'énoncé: M a pour affixe 3 + i ; on le tourne de θ autour de Ω d'affixe 1 + i
La bonne image: z′ = e^(iθ)(z − ω) + ω = 1 + 3i
Si on oublie ω: on écrit e^(iθ)z = −1 + 3i — c'est le point E, plausible et faux
Le contrôle du cours: une rotation conserve les distances : ΩM = 2 et ΩM′ = 2 coïncident
Ce qui démasque: ΩE = 2√2 pour le point E, contre ΩM = 2 attendus — c'est la distance À Ω, pas à O, qui tranche
L'écart: M′E = 2

Les deux images sont deux points plausibles, et sur un dessin figé rien ne les départage. Ce qui les départage est leur mouvement : la vraie image ne quitte jamais le cercle de centre Ω, la fausse jamais celui de centre O. Le contrôle que le cours recommande — une rotation conserve les distances — se lit alors directement : c'est la distance à Ω qu'il faut mesurer, et c'est justement celle que l'erreur ne conserve pas.

C et D voient [AB] sous le même angle — 60° vus de C comme de D — donc cocycliques

Le théorème: A, B, C, D deux à deux distincts, d'affixes a, b, c, d, sont cocycliques ou alignés si et seulement si (c − a)/(c − b) ÷ (d − a)/(d − b) est réel
Ce qu'il y a dessous: l'angle inscrit — C et D voient le segment [AB] sous le même angle, modulo π
Ici: les deux angles marqués valent 60° chacun, et le birapport vaut 0,5, qui est bien réel
Pourquoi ça marche: arg du premier rapport = angle en C, arg du second = angle en D ; leur différence est l'argument du birapport, et elle est nulle modulo π exactement quand les deux angles coïncident
modulo π: si C et D étaient de part et d'autre de [AB], les angles seraient SUPPLÉMENTAIRES et non égaux — le birapport resterait réel, mais négatif. Le dessin montre le cas où ils sont du même côté.

Le critère de cocyclicité ne ressemble pas à un cercle, et c'est ce qui le rend difficile à retenir. Dessous, il y a l'angle inscrit : deux points d'un même arc voient la même corde sous le même angle. L'argument du birapport est la DIFFÉRENCE de ces deux angles — il est nul, donc le birapport est réel, donc les quatre points sont sur un cercle.

|z − a| = r — un cercle

|z − a| = |z − b| — une médiatrice

Le cercle: |z − a| = r est l'ensemble des M tels que AM = r : le cercle de centre A et de rayon r
Ici: |z − (1 + i)| = 2, donc A(1 + i) et un rayon de 2
La médiatrice: |z − a| = |z − b| est l'ensemble des M tels que AM = BM : la médiatrice du segment [AB]
Ici: A a pour affixe −1 − i, B a pour affixe 3 + 3i, et le milieu de [AB] est 1 + i
Le point témoin: M d'affixe 2i vérifie AM = √10 et BM = √10 — les deux coïncident, il est bien dessus

Ces deux questions n'ont pas de calcul : elles ont une lecture. |z − a| est la distance de M au point A, et une fois ce mot posé, « l'ensemble des M tels que cette distance vaut r » est un cercle par définition. La médiatrice suit de la même façon. Le point M dessiné porte ses deux distances, égales : le trait n'est pas à croire sur parole.

translation — z′ = z + b — aucun point fixe

homothétie — z′ = k(z − ω) + ω — Ω est fixe

rotation — z′ = e^iθ(z − ω) + ω — Ω est fixe

Le point de départ: M a pour affixe 2 + i dans les trois vignettes
Translation: z′ = z + b avec b = −1 + 2i : l'image a pour affixe 1 + 3i. Pas de centre — aucun point n'est fixe.
Homothétie: z′ = k(z − ω) + ω avec k = 1,5 et ω = −1 − i : l'image a pour affixe 3,5 + 2i. Ω est fixe.
Rotation: z′ = e^iθ(z − ω) + ω avec θ = π/2 (90°) : l'image a pour affixe −3 + 2i. Ω est fixe.
Le tableau du cours: les trois ont la forme z′ = az + b ; a = 1 pour la translation, a réel (a ≠ 0 et a ≠ 1) pour l'homothétie, |a| = 1 ET a ≠ 1 pour la rotation

Le même point M, le même centre Ω, trois constructions. La translation le glisse et ne garde rien en place ; l'homothétie l'éloigne de Ω le long d'un rayon ; la rotation le fait tourner autour de Ω sans changer sa distance. Le centre n'est pas un paramètre de plus dans la formule : c'est le point qui ne bouge pas, et il n'existe que quand il y en a un.

Traduire distance, angle, alignement et orthogonalité en langage complexe
Écrire l'expression complexe d'une translation, d'une homothétie ou d'une rotation

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