الأعداد العقدية

عدد المربع ديالو ناقص واحد، وهندسة المستوى كلها كتولي حساب.

Mathématiques · الجبر والهندسة · الفصل 8 من 10

هذا الفصل يُفتح بحساب مجاني. وهذا ما تحمله الشجرة العمومية منه: نية كل جزء، ورسومه العمومية، ومهاراته.

الكتابة الجبرية والعمليات والمرافق

نحسب في ℂ تماما كما نحسب في ℝ، مع قاعدة واحدة زائدة : i²=−1. وكلّ ما تبقّى — المقلوب والخارج واختبار « هل هو حقيقي ؟ » — يُستنتج من المرافق.

le reflet — z̄ est le symétrique de z

z = z̄ — z est réel

z = −z̄ — z est imaginaire pur

Le conjugué: si z = 2 + i alors z̄ = 2 − i — même partie réelle, partie imaginaire opposée
Géométriquement: le point d'affixe z̄ est le SYMÉTRIQUE de celui d'affixe z par rapport à l'axe des réels
Premier test: z est réel ⟺ z = z̄ ⟺ le point est SUR l'axe des réels
Second test: z est imaginaire pur ⟺ z = −z̄ ⟺ le point est SUR l'axe des imaginaires
À quoi ça sert: montrer qu'un quotient est réel, c'est montrer un alignement ; qu'il est imaginaire pur, c'est montrer une orthogonalité

Le conjugué n'est pas une opération de calcul de plus : c'est le reflet dans l'axe des réels. Un point égale son reflet exactement quand il est sur le miroir — c'est le premier test ; il est l'opposé de son reflet exactement quand il est sur la perpendiculaire au miroir — c'est le second.

التعامل مع الكتابة الجبرية لعدد عقدي
حساب مجموع وجداء ومقلوب وخارج أعداد عقدية
استعمال المرافق وخاصياته

24 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

المعيار والعمدة والشكل المثلثي

يكفي عددان لتحديد عدد عقدي بغير إحداثياته : مسافته عن أصل المعلم وزاويته. وهذه الكتابة هي التي تجعل الجداءات سهلة — وهي التي ستجعل الدوران مجرّد ضرب.

|z_B − z_A| = AB — le module est une longueur

arg(z_B − z_A) — l'argument est un angle

l'angle en A — on soustrait le SOMMET

Les deux points: z_A = −1 − i et z_B = −1 + 2√3 + i
Leur différence: z_B − z_A = 2√3 + 2i
Son module: |z_B − z_A| = 4, et c'est exactement la longueur AB
Son argument: arg(z_B − z_A) = π/6 (30°) [2π], et c'est exactement la direction de la droite (AB)
L'angle en A: arg((z_C − z_A)/(z_B − z_A)) = π/2 (90°) [2π] — le quotient est imaginaire pur, donc (AB) et (AC) sont perpendiculaires

Soustraire z_A, c'est ramener A à l'origine — et une fois A à l'origine, le module de ce qui reste EST la longueur AB, et son argument EST la direction de (AB). C'est pour ça que le sommet de l'angle est ce qu'on soustrait : la règle de la méthode n'est pas une convention à retenir, c'est ce que fait la soustraction.

angle dont on tourne — arg a θ = π/2 (90°)

Le point z: z = 1 + i√3, avec |z| = 2 et arg z = π/3 (60°) [2π]
Le multiplicateur: a = 1,5i, avec |a| = 1,5 et arg a = π/2 (90°) [2π]
Le produit: az = −1,5√3 + 1,5i
Le module multiplie: |az| = |a| × |z| = 1,5 × 2 = 3
L'argument additionne: arg(az) = arg a + arg z = π/2 + π/3 = 5π/6 (150°)
Autrement dit: multiplier par a, c'est la rotation de centre O et d'angle π/2 (90°), suivie de l'homothétie de centre O et de rapport 1,5.

Le module multiplie et l'argument additionne — ce ne sont pas deux règles de calcul à retenir séparément, ce sont les deux moitiés d'un seul geste. Le triangle O, 1, z est reporté sur O, a, az : même forme, tourné de arg a, agrandi de |a|. Le produit reste sur son cercle de rayon 3 tout le tour : c'est |az| = |a| × |z| qu'on voit, au lieu de le lire.

حساب معيار وتأويله كمسافة
تحديد عمدة والانتقال إلى الشكل المثلثي

6 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

الترميز الأسي وأولير وموافر

ترميز يغيّر كلّ شيء : فالشكل المثلثي، مكتوبا e^iθ، يخضع لقواعد الفصل الخامس. وصيغ المثلثات التي كانت تُحفظ عن ظهر قلب تُستخرج حينئذ بحساب من سطر واحد.

θ = π/6 — six pas, et z⁶ = −1

θ = 2π/5 — le cinquième pas ramène à z₀

La formule: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ), c'est-à-dire (e^iθ)ⁿ = e^inθ
Ce qu'on voit: les puissances successives sont des points régulièrement espacés sur le cercle unité — un pas de θ à chaque fois
Le module: il vaut 1 à toutes les puissances, et c'est l'avertissement du chapitre : l'exponentielle complexe ne grandit pas, contrairement à eˣ
À quoi ça sert: développer — cos(3θ) en fonction de cos θ s'obtient en développant (cos θ + i sin θ)³ et en identifiant les parties réelles

Élever à la puissance n multiplie l'argument par n et laisse le module à 1 : les puissances sont donc des pas d'un même angle sur le cercle. La seconde vignette referme la boucle en cinq pas : z⁵ = 1.

استعمال الترميز الأسي وصيغتي أولير وموافر
إثبات صيغ مثلثية وإخطاطها بالأعداد العقدية

5 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

المعادلات من الدرجة الثانية في ℂ

السبب التاريخي لوجود الأعداد العقدية : ففي ℂ، كلّ معادلة من الدرجة الثانية لها حلول. فالمميّز السالب لم يعد يعيق شيئا، بل صار يعطي جذرين مترافقين.

حلّ معادلة من الدرجة الثانية بمعاملات حقيقية في ℂ

1 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 6 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

الأعداد العقدية والهندسة — تحويلات المستوى

الجزء الذي يمنح النقط، والذي يلحّ عليه المقرر أكثر من غيره : ترجمة شكل إلى حساب. المسافة والزاوية والاستقامية والتعامد، لكلّ منها ترجمته، وتمرين الباكالوريا يقوم على اختيار الترجمة الصحيحة.

angle de la rotation — θ θ = π/2 (90°)

L'énoncé: M a pour affixe 3 + i ; on le tourne de θ autour de Ω d'affixe 1 + i
La bonne image: z′ = e^(iθ)(z − ω) + ω = 1 + 3i
Si on oublie ω: on écrit e^(iθ)z = −1 + 3i — c'est le point E, plausible et faux
Le contrôle du cours: une rotation conserve les distances : ΩM = 2 et ΩM′ = 2 coïncident
Ce qui démasque: ΩE = 2√2 pour le point E, contre ΩM = 2 attendus — c'est la distance À Ω, pas à O, qui tranche
L'écart: M′E = 2

Les deux images sont deux points plausibles, et sur un dessin figé rien ne les départage. Ce qui les départage est leur mouvement : la vraie image ne quitte jamais le cercle de centre Ω, la fausse jamais celui de centre O. Le contrôle que le cours recommande — une rotation conserve les distances — se lit alors directement : c'est la distance à Ω qu'il faut mesurer, et c'est justement celle que l'erreur ne conserve pas.

C et D voient [AB] sous le même angle — 60° vus de C comme de D — donc cocycliques

Le théorème: A, B, C, D deux à deux distincts, d'affixes a, b, c, d, sont cocycliques ou alignés si et seulement si (c − a)/(c − b) ÷ (d − a)/(d − b) est réel
Ce qu'il y a dessous: l'angle inscrit — C et D voient le segment [AB] sous le même angle, modulo π
Ici: les deux angles marqués valent 60° chacun, et le birapport vaut 0,5, qui est bien réel
Pourquoi ça marche: arg du premier rapport = angle en C, arg du second = angle en D ; leur différence est l'argument du birapport, et elle est nulle modulo π exactement quand les deux angles coïncident
modulo π: si C et D étaient de part et d'autre de [AB], les angles seraient SUPPLÉMENTAIRES et non égaux — le birapport resterait réel, mais négatif. Le dessin montre le cas où ils sont du même côté.

Le critère de cocyclicité ne ressemble pas à un cercle, et c'est ce qui le rend difficile à retenir. Dessous, il y a l'angle inscrit : deux points d'un même arc voient la même corde sous le même angle. L'argument du birapport est la DIFFÉRENCE de ces deux angles — il est nul, donc le birapport est réel, donc les quatre points sont sur un cercle.

|z − a| = r — un cercle

|z − a| = |z − b| — une médiatrice

Le cercle: |z − a| = r est l'ensemble des M tels que AM = r : le cercle de centre A et de rayon r
Ici: |z − (1 + i)| = 2, donc A(1 + i) et un rayon de 2
La médiatrice: |z − a| = |z − b| est l'ensemble des M tels que AM = BM : la médiatrice du segment [AB]
Ici: A a pour affixe −1 − i, B a pour affixe 3 + 3i, et le milieu de [AB] est 1 + i
Le point témoin: M d'affixe 2i vérifie AM = √10 et BM = √10 — les deux coïncident, il est bien dessus

Ces deux questions n'ont pas de calcul : elles ont une lecture. |z − a| est la distance de M au point A, et une fois ce mot posé, « l'ensemble des M tels que cette distance vaut r » est un cercle par définition. La médiatrice suit de la même façon. Le point M dessiné porte ses deux distances, égales : le trait n'est pas à croire sur parole.

translation — z′ = z + b — aucun point fixe

homothétie — z′ = k(z − ω) + ω — Ω est fixe

rotation — z′ = e^iθ(z − ω) + ω — Ω est fixe

Le point de départ: M a pour affixe 2 + i dans les trois vignettes
Translation: z′ = z + b avec b = −1 + 2i : l'image a pour affixe 1 + 3i. Pas de centre — aucun point n'est fixe.
Homothétie: z′ = k(z − ω) + ω avec k = 1,5 et ω = −1 − i : l'image a pour affixe 3,5 + 2i. Ω est fixe.
Rotation: z′ = e^iθ(z − ω) + ω avec θ = π/2 (90°) : l'image a pour affixe −3 + 2i. Ω est fixe.
Le tableau du cours: les trois ont la forme z′ = az + b ; a = 1 pour la translation, a réel (a ≠ 0 et a ≠ 1) pour l'homothétie, |a| = 1 ET a ≠ 1 pour la rotation

Le même point M, le même centre Ω, trois constructions. La translation le glisse et ne garde rien en place ; l'homothétie l'éloigne de Ω le long d'un rayon ; la rotation le fait tourner autour de Ω sans changer sa distance. Le centre n'est pas un paramètre de plus dans la formule : c'est le point qui ne bouge pas, et il n'existe que quand il y en a un.

ترجمة المسافة والزاوية والاستقامية والتعامد إلى اللغة العقدية
كتابة التعبير العقدي لإزاحة أو تحاكٍ أو دوران

1 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 14 سؤال/أسئلة بحساب مجاني