Équations différentielles

Le chapitre le plus court : deux équations, pas une de plus, et la physique qui les réclame.

Mathématiques · Analyse · chapitre 7 sur 10

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Le premier ordre — y′ = ay + b

Une seule idée, reprise du chapitre 5 : l'exponentielle est sa propre dérivée. Ce qui est neuf ici, c'est qu'il n'y a pas d'autres solutions, et tout le premier ordre en découle, second membre compris.

Le pluriel: « Les solutions sont les fonctions y = Ce^2x − 3 » : une par valeur de C, donc une infinité. Le faisceau le rend visible — et deux courbes ne se coupent jamais, ce qui est exactement l'unicité.
Ce que fait la condition: Elle désigne un POINT du plan, ici (0 ; 0). Par ce point passe une courbe du faisceau et une seule : c'est elle, la réponse. « Conclure en donnant la fonction complète, sans C » est la dernière étape de la méthode du cours, et c'est cette courbe-là.
La solution constante: y = −3 est la courbe de C = 0. Elle est l'asymptote de toutes les autres ET une solution à part entière : le cours insiste, « deux objets, un seul trait ». Elle vaut −b/a = −6/2 = −3, et non −3 par hasard.
Le contrôle gratuit: Dériver la réponse et la réinjecter : f′(x) = 6e^2x, et 2f(x) + 6 = 6e^2x. Les deux coïncident. L'outil qui dessine cette figure le refait avant de tracer, et refuse si l'égalité tombe.

Sept solutions de la même équation, qui ne se coupent jamais et remplissent le plan. La condition initiale ne « donne » pas la solution : elle en DÉSIGNE une, en montrant un point. Et la droite y = −3 n'est pas là pour décorer — c'est une solution comme les autres, celle de C = 0.

Résoudre l'équation différentielle y′ = ay
Résoudre l'équation différentielle y′ = ay + b
Déterminer la solution vérifiant une condition initiale

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Le second ordre — y″ + ay′ + by = 0

Trois formes de solutions, décidées par le signe d'un discriminant. Le programme dit explicitement qu'elles sont admises : il n'y a rien à démontrer, seulement à identifier le bon cas et à ne pas se tromper de formule.

Résoudre l'équation différentielle y″ + ay′ + by = 0
Déterminer la solution du second ordre vérifiant deux conditions

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Équations qui s'y ramènent, et modélisation

Au programme, deux types d'équations seulement ; mais au bac, on te demande aussi de traiter celles qui s'y ramènent, et de t'en servir dans les autres matières. C'est là que le chapitre devient un vrai exercice de bac, plutôt qu'une formule à réciter.

Résoudre une équation se ramenant aux deux équations du programme
Traduire une situation en équation différentielle et l'interpréter

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