المعادلات التفاضلية

أقصر درس فالمقرر: جوج معادلات وحدهم، والفيزياء هي اللي كتحتاجهوم.

Mathématiques · التحليل · الفصل 7 من 10

هذا الفصل يُفتح بحساب مجاني. وهذا ما تحمله الشجرة العمومية منه: نية كل جزء، ورسومه العمومية، ومهاراته.

الرتبة الأولى — y′ = ay + b

فكرة واحدة، مأخوذة من الفصل 5: الدالة الأسية هي مشتقة نفسها. الجديد هنا هو أنه لا توجد حلول أخرى، ومنه تُستنتج الرتبة الأولى بأكملها، بما في ذلك الطرف الثاني.

Le pluriel: « Les solutions sont les fonctions y = Ce^2x − 3 » : une par valeur de C, donc une infinité. Le faisceau le rend visible — et deux courbes ne se coupent jamais, ce qui est exactement l'unicité.
Ce que fait la condition: Elle désigne un POINT du plan, ici (0 ; 0). Par ce point passe une courbe du faisceau et une seule : c'est elle, la réponse. « Conclure en donnant la fonction complète, sans C » est la dernière étape de la méthode du cours, et c'est cette courbe-là.
La solution constante: y = −3 est la courbe de C = 0. Elle est l'asymptote de toutes les autres ET une solution à part entière : le cours insiste, « deux objets, un seul trait ». Elle vaut −b/a = −6/2 = −3, et non −3 par hasard.
Le contrôle gratuit: Dériver la réponse et la réinjecter : f′(x) = 6e^2x, et 2f(x) + 6 = 6e^2x. Les deux coïncident. L'outil qui dessine cette figure le refait avant de tracer, et refuse si l'égalité tombe.

Sept solutions de la même équation, qui ne se coupent jamais et remplissent le plan. La condition initiale ne « donne » pas la solution : elle en DÉSIGNE une, en montrant un point. Et la droite y = −3 n'est pas là pour décorer — c'est une solution comme les autres, celle de C = 0.

حلّ المعادلة التفاضلية y′ = ay
حلّ المعادلة التفاضلية y′ = ay + b
تحديد الحلّ الذي يحقق شرطا بدئيا

25 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

الرتبة الثانية — y″ + ay′ + by = 0

ثلاث صيغ للحلول، تحددها إشارة مميز. ينص المقرر صراحة على أنها مسلَّم بها: لا شيء يُبرهن، بل فقط التعرف على الحالة المناسبة وعدم الخلط بين الصيغ.

حلّ المعادلة التفاضلية y″ + ay′ + by = 0
تحديد حلّ المعادلة من الرتبة الثانية الذي يحقق شرطين

1 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 13 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

المعادلات التي تؤول إليهما، والنمذجة

لا يتضمن المقرر سوى معادلتين — لكنه يطلب صراحة معالجة المعادلات التي تؤول إليهما، واستعمالها في المواد الأخرى. هنا يصير الفصل تمرين باكالوريا لا صيغة تُستظهر.

حلّ معادلة تؤول إلى معادلتي المقرر
ترجمة وضعية إلى معادلة تفاضلية وتأويلها

1 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 25 سؤال/أسئلة بحساب مجاني