Calcul intégral

L'opération qui remonte la dérivation, et se dépense en aires, en volumes et en encadrements.

Mathématiques · Analyse · chapitre 6 sur 10

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Définition et premiers calculs

L'intégrale n'est pas définie comme une aire, mais comme une différence de primitives. L'aire vient après, en interprétation. Prendre l'ordre inverse rend incompréhensible ce qui se passe quand a>b.

Ce que dit la relation: ∫₀³ f = ∫₀¹ f + ∫₁³ f. En aires : le domaine se coupe en deux et les deux morceaux se recollent. Le trait de coupe n'a pas d'épaisseur, donc il ne compte ni deux fois ni zéro fois.
Les nombres: Trois aires sont écrites : 10/9 sur [0 ; 1], 44/9 sur [1 ; 3], et 6 sur [0 ; 3] en haut. C'est la relation de Chasles : l'aire totale est la somme des deux morceaux.
Pourquoi c'est plus qu'un calcul: Parce que la même relation vaut quand le point de coupe est HORS de l'intervalle — ∫₀³ = ∫₀⁵ + ∫₅³ — et là il n'y a plus d'aire à découper, seulement une convention de signe. La figure montre le cas où l'on voit ; elle prépare celui où l'on ne voit plus.
Ce qui n'est pas dessiné: f est positive ici, donc l'intégrale EST l'aire. Quand f change de signe, les deux cessent de coïncider — c'est l'objet d'une autre figure de ce même chapitre, sur l'intégrale et la valeur absolue.

Une aire coupée par un trait vertical, et deux morceaux qui se recollent sans vide ni recouvrement. C'est tout le contenu de la relation de Chasles quand f est positive — et c'est ce qu'aucune ligne de calcul ne montre.

borne aa = −1

borne bb = 3

Aire au-dessus de l'axe: 8/3
Aire au-dessous de l'axe: 4/3
L'intégrale: ∫ₐᵇ f(x) dx = 8/3 − 4/3 = 4/3
Ce que ça dit: L'aire au-dessous est retranchée de celle au-dessus : les deux ne se compensent pas ici, et ce qui reste est positif.

Deux curseurs, deux bornes, et un nombre qui change de signe. Là où f est au-dessus de l'axe, l'aire s'ajoute ; là où elle passe dessous, elle se retranche. Pousser b sous a retourne le nombre une seconde fois, pour une raison qui n'a rien à voir avec la courbe. C'est tout ce que veut dire « f positive ET a ≤ b ».

Connaître la définition de l'intégrale et son interprétation en aire
Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
Utiliser la relation de Chasles et la linéarité de l'intégrale

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Intégrale et ordre, valeur moyenne

Comparer deux intégrales sans les calculer. C'est ce qui permet d'encadrer un nombre qu'on ne sait pas exprimer — et au national, la question qui demande une comparaison vaut souvent autant que celle qui demande un calcul.

L'encadrement: Si m ≤ f ≤ M sur [a ; b], alors m(b−a) ≤ ∫ₐᵇ f ≤ M(b−a). Le petit rectangle rentre sous la courbe, le grand la couvre, et l'aire est prise entre les deux.
Les nombres: Ici a = 1, b = 3, m = 1 et M = 3 : l'encadrement donne 2 ≤ ∫ ≤ 6. La valeur exacte est 3 ln 3 ≈ 3,30 — elle tient bien dans la fourchette, et elle en est loin des deux côtés.
Pourquoi c'est grossier: Parce qu'un seul rectangle par côté ne suit pas la courbe. L'écart entre les deux vaut (M − m)(b − a) = 4, pour une aire de 3,30 : la fourchette est plus large que ce qu'elle encadre. Découper [1 ; 3] en morceaux resserrerait les deux — et c'est exactement la méthode des rectangles de la partie int-p6.
À quoi ça sert malgré tout: À majorer sans calculer. Quand la primitive est inaccessible, c'est souvent le seul encadrement disponible, et il suffit à conclure sur une limite ou sur un signe.

Deux rectangles de même base, l'un qui rentre sous la courbe et l'autre qui la couvre. L'aire cherchée est prise entre les deux, sans qu'on ait eu besoin d'intégrer quoi que ce soit — et l'écart entre les deux dit tout de suite ce que vaut cette approximation.

Comparer deux intégrales et exploiter la positivité
Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un segment

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Techniques de calcul

Quand aucune primitive ne se reconnaît, il reste une manœuvre : déplacer la dérivation d'un facteur sur l'autre. C'est l'intégration par parties, et elle règle la quasi-totalité des intégrales du bac qui ne sont pas immédiates.

Calculer une intégrale par intégration par parties

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Aires et volumes

Ce à quoi le calcul intégral sert dans l'énoncé du bac. Ces deux questions arrivent presque toujours en fin de problème, après l'étude de fonction — et elles se traitent en trois lignes quand le signe a été établi avant.

La courbe: f(x) = √x sur [0 ; 4]
La tranche: un DISQUE de rayon f(x) = 1,5 et d'épaisseur 0,5 : son volume vaut π × f(x)² × épaisseur = ≈ 1,12π ≈ ≈ 3,53
D'où le carré et le π: ils ne viennent pas de la formule, ils viennent du disque : c'est son aire πf(x)² qu'on empile
Le volume: V = π∫ f(t)² dt = 8π ≈ ≈ 25,13 unités de volume

Le π et le carré de la formule ne viennent pas de la formule : ils viennent de l'aire d'un disque. Une tranche prise en x est un disque de rayon f(x), donc d'aire πf(x)², et son volume est cette aire multipliée par son épaisseur. L'intégrale ne fait qu'empiler ces tranches de a à b.

Calculer l'aire d'un domaine limité par deux courbes
Calculer le volume d'un solide de révolution

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