الحساب التكاملي

العملية اللي كتصعد عكس الاشتقاق، وكتصرف فالمساحات والحجوم والتأطيرات.

Mathématiques · التحليل · الفصل 6 من 10

هذا الفصل يُفتح بحساب مجاني. وهذا ما تحمله الشجرة العمومية منه: نية كل جزء، ورسومه العمومية، ومهاراته.

التعريف والحسابات الأولى

التكامل لا يُعرَّف بوصفه مساحة، بل بوصفه فرقا بين دالتين أصليتين. أما المساحة فتأتي بعد ذلك، تأويلا. وأخذ الترتيب المعكوس يجعل ما يقع حين a>b غير مفهوم.

Ce que dit la relation: ∫₀³ f = ∫₀¹ f + ∫₁³ f. En aires : le domaine se coupe en deux et les deux morceaux se recollent. Le trait de coupe n'a pas d'épaisseur, donc il ne compte ni deux fois ni zéro fois.
Les nombres: Trois aires sont écrites : 10/9 sur [0 ; 1], 44/9 sur [1 ; 3], et 6 sur [0 ; 3] en haut. C'est la relation de Chasles : l'aire totale est la somme des deux morceaux.
Pourquoi c'est plus qu'un calcul: Parce que la même relation vaut quand le point de coupe est HORS de l'intervalle — ∫₀³ = ∫₀⁵ + ∫₅³ — et là il n'y a plus d'aire à découper, seulement une convention de signe. La figure montre le cas où l'on voit ; elle prépare celui où l'on ne voit plus.
Ce qui n'est pas dessiné: f est positive ici, donc l'intégrale EST l'aire. Quand f change de signe, les deux cessent de coïncider — c'est l'objet d'une autre figure de ce même chapitre, sur l'intégrale et la valeur absolue.

Une aire coupée par un trait vertical, et deux morceaux qui se recollent sans vide ni recouvrement. C'est tout le contenu de la relation de Chasles quand f est positive — et c'est ce qu'aucune ligne de calcul ne montre.

borne aa = −1

borne bb = 3

Aire au-dessus de l'axe: 8/3
Aire au-dessous de l'axe: 4/3
L'intégrale: ∫ₐᵇ f(x) dx = 8/3 − 4/3 = 4/3
Ce que ça dit: L'aire au-dessous est retranchée de celle au-dessus : les deux ne se compensent pas ici, et ce qui reste est positif.

Deux curseurs, deux bornes, et un nombre qui change de signe. Là où f est au-dessus de l'axe, l'aire s'ajoute ; là où elle passe dessous, elle se retranche. Pousser b sous a retourne le nombre une seconde fois, pour une raison qui n'a rien à voir avec la courbe. C'est tout ce que veut dire « f positive ET a ≤ b ».

معرفة تعريف التكامل وتأويله بالمساحة
حساب تكامل بواسطة دالة أصلية
استعمال علاقة شال وخطيانية التكامل

24 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

التكامل والترتيب، والقيمة المتوسطة

مقارنة تكاملين دون حسابهما. وهذا ما يسمح بتأطير عدد لا نعرف كيف نعبر عنه — وفي الامتحان الوطني، السؤال الذي يطلب مقارنة يساوي في أغلب الأحيان السؤال الذي يطلب حسابا.

L'encadrement: Si m ≤ f ≤ M sur [a ; b], alors m(b−a) ≤ ∫ₐᵇ f ≤ M(b−a). Le petit rectangle rentre sous la courbe, le grand la couvre, et l'aire est prise entre les deux.
Les nombres: Ici a = 1, b = 3, m = 1 et M = 3 : l'encadrement donne 2 ≤ ∫ ≤ 6. La valeur exacte est 3 ln 3 ≈ 3,30 — elle tient bien dans la fourchette, et elle en est loin des deux côtés.
Pourquoi c'est grossier: Parce qu'un seul rectangle par côté ne suit pas la courbe. L'écart entre les deux vaut (M − m)(b − a) = 4, pour une aire de 3,30 : la fourchette est plus large que ce qu'elle encadre. Découper [1 ; 3] en morceaux resserrerait les deux — et c'est exactement la méthode des rectangles de la partie int-p6.
À quoi ça sert malgré tout: À majorer sans calculer. Quand la primitive est inaccessible, c'est souvent le seul encadrement disponible, et il suffit à conclure sur une limite ou sur un signe.

Deux rectangles de même base, l'un qui rentre sous la courbe et l'autre qui la couvre. L'aire cherchée est prise entre les deux, sans qu'on ait eu besoin d'intégrer quoi que ce soit — et l'écart entre les deux dit tout de suite ce que vaut cette approximation.

المقارنة بين تكاملين واستثمار الموجبية
حساب القيمة المتوسطة لدالة على قطعة

40 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

تقنيات الحساب

حين لا نتعرف على أي دالة أصلية تبقى مناورة واحدة : نقل الاشتقاق من عامل إلى الآخر. وهذه هي المكاملة بالأجزاء، وهي تحسم جل تكاملات الامتحان التي ليست فورية.

حساب تكامل بالمكاملة بالأجزاء

1 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 10 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

المساحات والحجوم

ما يخدمه الحساب التكاملي في موضوع الامتحان. هذان السؤالان يأتيان في آخر المسألة في أغلب الأحيان، بعد دراسة الدالة — ويُعالجان في ثلاثة أسطر إذا كانت الإشارة قد أُثبتت من قبل.

La courbe: f(x) = √x sur [0 ; 4]
La tranche: un DISQUE de rayon f(x) = 1,5 et d'épaisseur 0,5 : son volume vaut π × f(x)² × épaisseur = ≈ 1,12π ≈ ≈ 3,53
D'où le carré et le π: ils ne viennent pas de la formule, ils viennent du disque : c'est son aire πf(x)² qu'on empile
Le volume: V = π∫ f(t)² dt = 8π ≈ ≈ 25,13 unités de volume

Le π et le carré de la formule ne viennent pas de la formule : ils viennent de l'aire d'un disque. Une tranche prise en x est un disque de rayon f(x), donc d'aire πf(x)², et son volume est cette aire multipliée par son épaisseur. L'intégrale ne fait qu'empiler ces tranches de a à b.

حساب مساحة حيّز محصور بين منحنيين
حساب حجم مجسم الدوران

48 سؤال/أسئلة بحساب مجاني