Fonction exponentielle

Le logarithme à l'envers : sa réciproque donne d'un coup le domaine, les variations, la courbe et la dérivée.

Mathématiques · Analyse · chapitre 5 sur 10

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Définition et propriétés algébriques

Rien de neuf à mémoriser ici : chaque propriété de l'exponentielle est une propriété du logarithme lue dans l'autre sens. Voir ce miroir divise par deux ce qu'il y a à retenir dans les deux chapitres.

Connaître la définition de exp comme réciproque de ln et ses propriétés
Utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle
Passer d'une écriture logarithmique à une écriture exponentielle et inversement
Résoudre une équation, une inéquation ou un système avec exponentielles

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Limites et croissances comparées

L'exponentielle croît plus vite que n'importe quelle puissance — c'est la même hiérarchie qu'au chapitre 4, prise par l'autre bout. Elle règle presque toutes les formes indéterminées où e^x apparaît.

Calculer une limite faisant intervenir exp, croissances comparées incluses

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Dérivée, primitives et exponentielle de base a

La propriété qui rend l'exponentielle irremplaçable en sciences : elle est sa propre dérivée. C'est ce qui la fera revenir au chapitre 7, où elle sera la solution des équations différentielles.

y = aˣ pour a = 1/3, 1/2, 2 et 3

a > 1 : ça monte · a < 1 : ça descend · a⁰ = 1 toujours

Comprendre le graphe

La définition: Pour a > 0, aˣ = e^{x ln a}. Tout le comportement tient dans le signe de ln a — et c'est le seul endroit du bloc où il faut réfléchir.
Le point fixe: a⁰ = 1 quelle que soit la base : les quatre courbes passent par (0 ; 1), et elles PIVOTENT autour de lui. Plus la base est grande, plus la rotation est marquée.
La symétrie, à retenir: (1/a)ˣ = a^−x : la courbe de base 1/a est le miroir de celle de base a par rapport à l'axe des ordonnées. Il n'y a donc RIEN à mémoriser sur le cas a < 1 — il se déduit.
Ce qui ne change jamais: Une exponentielle est strictement positive, quelle que soit la base : aucune des quatre courbes ne touche l'axe des abscisses, ni ne le traverse. L'axe est asymptote des deux côtés selon le sens de variation.

Quatre bases, un seul point commun. Le signe de ln a décide du sens de variation, et la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées échange a et 1/a. Ce qui s'écrit e^{x ln a} tient, en dessin, dans un pivot autour de (0 ; 1).

Dériver une fonction contenant exp, y compris e^u
Reconnaître une primitive de la forme u′e^u
Utiliser l'exponentielle de base a et dériver x ↦ a^x

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Étude de fonctions — exponentielle seule ou mêlée au logarithme

La partie qui rapporte. Au national, l'exponentielle n'arrive presque jamais seule : elle arrive dans un problème d'étude de fonction, souvent avec le logarithme.

Étudier une fonction contenant une exponentielle et tracer sa courbe
Étudier une fonction où le logarithme et l'exponentielle apparaissent ensemble

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