Fonction logarithme

La fonction qui transforme les produits en sommes : une propriété, une dérivée, et tout le chapitre en découle.

Mathématiques · Analyse · chapitre 4 sur 10

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Définition et propriétés algébriques

Tout le chapitre tient dans une propriété : le logarithme change les produits en sommes. Les autres règles en découlent, et savoir d'où elles viennent évite de les confondre.

Connaître la définition de ln, ses propriétés fondamentales et l'ensemble de définition de ln u
Utiliser les propriétés algébriques du logarithme
Utiliser le logarithme de base a et le logarithme décimal : 10ˣ = a, 10ˣ ≤ a, pH
Résoudre une équation, une inéquation ou un système avec logarithme, au besoin en posant X = ln x

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Limites et croissances comparées

Le logarithme croît, mais très lentement — plus lentement que n'importe quelle puissance. Cette hiérarchie règle presque toutes les formes indéterminées du chapitre.

Calculer une limite faisant intervenir ln : croissances comparées, limites de référence, changement de variable
Établir une inégalité de référence sur ln, puis s'en servir pour encadrer ou trouver une limite

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Dérivée, primitives et étude

La partie qui rapporte : au national, le logarithme arrive presque toujours dans un problème d'étude de fonction, et la primitive u′u est la porte d'entrée du calcul intégral.

F(x) = ln|x|, une primitive de 1/x

deux branches, et jamais de trait entre elles

Comprendre le graphe

Ce que dit le bloc: Une primitive de u′/u est ln|u|, et la valeur absolue n'est pas décorative. Sur chaque intervalle où u ne s'annule pas, ln|u| est bien une primitive — mais ces intervalles sont SÉPARÉS.
Pourquoi deux branches: Parce que 1/x n'est pas définie en 0 : son domaine est ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, deux morceaux disjoints. Une primitive se choisit SUR UN INTERVALLE, et il y en a deux.
L'erreur de copie: Écrire « une primitive de u′/u est ln u » sans valeur absolue, puis travailler sur un intervalle où u est négative. La formule devient indéfinie, et la question suivante tombe avec elle.
Le trait qu'il ne faut pas tracer: Beaucoup de traceurs relient les deux branches par une verticale qui traverse l'axe. Ce trait affirme que la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires en 0, où elle n'est pas définie. L'outil qui a produit cette figure coupe le tracé, et ne peut pas le dessiner.

Deux branches, et rien entre elles. La valeur absolue dans ln|u| ne sert pas à rendre une écriture plus jolie : elle dit qu'il y a deux domaines, et qu'une primitive se choisit sur l'un OU sur l'autre. Le vide au milieu de la figure est exactement ce que la formule cache.

Dériver une fonction contenant ln, y compris ln(u)
Reconnaître une primitive de la forme u′/u, au besoin après division ou décomposition
Étudier une fonction contenant ln : signe d'une expression en ln par une fonction auxiliaire, variations, position relative, tracé

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