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Mathématiques

Suites numériques

Une fonction qui ne regarde que les entiers, avec deux outils à elle : la récurrence et la convergence monotone.

Mathématiques · Analyse · chapitre 3 sur 10

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Le raisonnement par récurrence

L'outil qui ouvre le chapitre et qu'on retrouve dans presque tout exercice de suites. Il permet de démontrer une propriété pour tous les entiers à partir d'un seul calcul et d'un seul passage.

  • Démontrer par récurrence une borne ou une inégalité, et manier la relation de récurrence
  • Étudier le sens de variation d'une suite : différence, quotient, ou position de f(x) par rapport à x

65 question(s) avec un compte gratuit

Suites arithmétiques et géométriques

Les deux seules suites dont on sait tout écrire — terme général, somme, limite. Tout l'art des exercices consiste à ramener une suite compliquée à l'une des deux, par une suite auxiliaire.

  • Reconnaître une suite arithmétique, en donner le terme général et les sommes
  • Reconnaître une suite géométrique, en donner le terme général et les sommes
  • Introduire une suite auxiliaire (récurrence affine ou homographique) et revenir à uₙ

26 question(s) avec un compte gratuit

Limites de suites

Tout ce que le chapitre 1 a construit se transporte ici. Ce qui change, c'est le catalogue de référence — et le fait que la limite d'une suite se prend toujours quand n tend vers +∞, jamais ailleurs.

  • Calculer une limite de suite : suites de référence, qⁿ, opérations, formes indéterminées
  • Déterminer une limite de suite par comparaison ou par encadrement

16 question(s) avec un compte gratuit

Convergence monotone

Le théorème qui prouve qu'une limite existe sans la calculer. Il porte aussi l'erreur de fin d'exercice la plus fréquente du chapitre : croire qu'il donne la valeur de cette limite.

u₀ = 1 et u(n+1) = √(u(n) + 2) croissante et majorée par 3 : elle converge — vers quoi ? 0 1 2 3 M = 3 — un majorant ℓ = 2 — la limite 0 1 2 3 4 5 6 u₀ = 1 u₁ ≈ 1,73 u₆ ≈ 1,9997 n — le rang, et rien entre deux rangs
Pourquoi des points
Une suite est une fonction de ℕ. Elle n'a AUCUNE valeur entre n = 3 et n = 4, et un trait tiré entre deux termes affirmerait qu'elle en a une. L'outil qui dessine cette figure n'a pas de code pour relier, et le vérificateur refuse un nuage qui contiendrait le moindre tracé.
Ce que le théorème donne
Croissante et majorée par 3 : elle CONVERGE. C'est tout. Le théorème ne nomme aucune limite, et l'espace vide entre les points et la droite M = 3 est exactement la part de vérité qu'il ne donne pas.
L'erreur classique
Croire que la limite est le majorant. Ici le majorant vaut 3 et la limite 2 : la figure les sépare de tout un étage, pour qu'on ne puisse pas les confondre. C'est aussi pourquoi le majorant dessiné n'est pas 2, qui majore pourtant lui aussi.
D'où vient le 2
Pas de ce théorème-ci, mais du suivant : si la suite converge vers ℓ et que f est continue, alors f(ℓ) = ℓ. Ici √(ℓ+2) = ℓ donne ℓ = 2. La figure `sui-p5` le montre en escalier sur la courbe ; celle-ci montre le même objet vu du rang.
Sept termes, sept points, et rien entre eux. Ils montent, ils restent sous 3, donc la suite converge — c'est tout ce que le théorème affirme. Ce vers quoi ils montent, 2, se lit sur la seconde droite et se démontre ailleurs : confondre le majorant et la limite est l'erreur classique du chapitre, et cette figure est dessinée pour la rendre impossible. Quant au « sans jamais l'atteindre » : à partir du rang 3 l'écran ne sépare plus les points de la droite, et c'est la valeur imprimée de u₆ qui le dit — pas le dessin.
  • Appliquer le théorème de la convergence monotone
  • Trouver la limite : point fixe de f, ou limite de f(uₙ) par continuité

3 question(s) avec un compte gratuit

Étudier une suite récurrente

La synthèse du chapitre, et le squelette d'un exercice entier au national. Rien de neuf ici : tout est déjà là, il s'agit de l'enchaîner dans le bon ordre sans sauter d'étape.

f1: sqrt(x + 2) | f2: 5/2 - x**2/8 | fenetre: -0.3 4.3 -0.5 4.3 | echelle: 60.0 | marges: 40.0 26.0 60.0 40.0 | ell: 2 | crans: 0 4 1/4 | marches: 8 L'escalier de u(n+1) = f(u(n)) monter à la courbe, revenir sur y = x, recommencer 1 3 4 1 2 3 4 y = x ℓ = 2 y = √(x + 2) y = 5/2 − x²/8 u₀ u₄
u₀ = 0,5
n = 4
La fonction
f(x) = √(x + 2) — croissante
Le premier terme
u₀ = 0,5
Le terme de rang n
u₄ ≈ 1,993
L'écart au point fixe
|u₄ − ℓ| ≈ 0,007
Ce que ça dit
f est croissante et u₀ < ℓ : la suite monte vers ℓ, marche après marche, sans jamais le dépasser.
Une marche, c'est un rang. On monte de u(n) jusqu'à la courbe — on lit u(n+1) = f(u(n)) — puis on revient sur la droite y = x, qui ramène ce résultat en abscisse, prêt pour le rang suivant. Quand on déplace u₀ de part et d'autre du point fixe, la suite monte, ou elle descend, et jamais elle ne traverse ℓ. Quand on change de fonction, la construction ne change pas d'un trait, mais l'escalier devient une spirale, parce que la courbe descend au lieu de monter. Dans les deux cas l'écart au point fixe diminue à chaque marche — c'est le nombre affiché qui le dit, car le dessin, lui, ne sépare bientôt plus les termes de ℓ.
  • Étudier le sens de variation d'une suite : différence, quotient, ou position de f(x) par rapport à x
  • Majorer l'écart à la limite par une suite géométrique, puis conclure

22 question(s) avec un compte gratuit