fhamtha.ma
Français افتح في فهمتها

fhamtha.ma › الدرس › المتتاليات العددية

Mathématiques

المتتاليات العددية

دالة اللي كتشوف غير الأعداد الصحيحة، وعندها جوج أدوات ديالها: الترجع والتقارب الرتيب.

Mathématiques · التحليل · الفصل 3 من 10

هذا الفصل يُفتح بحساب مجاني. وهذا ما تحمله الشجرة العمومية منه: نية كل جزء، ورسومه العمومية، ومهاراته.

الاستدلال بالترجع

الأداة التي تفتتح الفصل والتي نجدها في كل تمرين عن المتتاليات تقريبا. وهي تمكن من البرهان على خاصية بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة انطلاقا من حساب واحد وانتقال واحد.

  • إثبات خاصية بالترجع
  • دراسة منحى تغير متتالية

65 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية

المتتاليتان الوحيدتان اللتان نعرف كيف نكتب كل شيء عنهما — الحد العام والمجموع والنهاية. وكل فن التمارين هو إرجاع متتالية معقدة إلى إحداهما عن طريق متتالية مساعدة.

  • التعرف على متتالية حسابية، وإعطاء حدّها العام ومجاميعها
  • التعرف على متتالية هندسية، وإعطاء حدّها العام ومجاميعها
  • إدخال متتالية مساعدة حسابية أو هندسية لحلّ الترجع

26 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

نهايات المتتاليات

كل ما بناه الفصل الأول ينتقل إلى هنا. والذي يتغير هو قائمة النهايات المرجعية — وكون المتتالية لا يمكن أن تؤول إلا إلى +∞ في n، ولا شيء غير ذلك.

  • استعمال العمليات على نهايات المتتاليات
  • تحديد نهاية متتالية بالمقارنة أو بالتأطير

16 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

التقارب الرتيب

المبرهنة التي تثبت وجود النهاية دون حسابها. وهي تحمل أيضا أكثر أخطاء نهاية التمرين ورودا في هذا الفصل: أن يُظنّ أنها تعطي قيمة هذه النهاية.

u₀ = 1 et u(n+1) = √(u(n) + 2) croissante et majorée par 3 : elle converge — vers quoi ? 0 1 2 3 M = 3 — un majorant ℓ = 2 — la limite 0 1 2 3 4 5 6 u₀ = 1 u₁ ≈ 1,73 u₆ ≈ 1,9997 n — le rang, et rien entre deux rangs
Pourquoi des points
Une suite est une fonction de ℕ. Elle n'a AUCUNE valeur entre n = 3 et n = 4, et un trait tiré entre deux termes affirmerait qu'elle en a une. L'outil qui dessine cette figure n'a pas de code pour relier, et le vérificateur refuse un nuage qui contiendrait le moindre tracé.
Ce que le théorème donne
Croissante et majorée par 3 : elle CONVERGE. C'est tout. Le théorème ne nomme aucune limite, et l'espace vide entre les points et la droite M = 3 est exactement la part de vérité qu'il ne donne pas.
L'erreur classique
Croire que la limite est le majorant. Ici le majorant vaut 3 et la limite 2 : la figure les sépare de tout un étage, pour qu'on ne puisse pas les confondre. C'est aussi pourquoi le majorant dessiné n'est pas 2, qui majore pourtant lui aussi.
D'où vient le 2
Pas de ce théorème-ci, mais du suivant : si la suite converge vers ℓ et que f est continue, alors f(ℓ) = ℓ. Ici √(ℓ+2) = ℓ donne ℓ = 2. La figure `sui-p5` le montre en escalier sur la courbe ; celle-ci montre le même objet vu du rang.
Sept termes, sept points, et rien entre eux. Ils montent, ils restent sous 3, donc la suite converge — c'est tout ce que le théorème affirme. Ce vers quoi ils montent, 2, se lit sur la seconde droite et se démontre ailleurs : confondre le majorant et la limite est l'erreur classique du chapitre, et cette figure est dessinée pour la rendre impossible. Quant au « sans jamais l'atteindre » : à partir du rang 3 l'écran ne sépare plus les points de la droite, et c'est la valeur imprimée de u₆ qui le dit — pas le dessin.
  • تطبيق مبرهنة التقارب الرتيب
  • تحديد نهاية متتالية ترجعية متقاربة بالنقطة الصامدة

3 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

كيف ندرس متتالية ترجعية

خلاصة الفصل، وهيكل تمرين كامل في الامتحان الوطني. لا جديد هنا : كل شيء موجود من قبل، والأمر يتعلق بترتيبه في التسلسل الصحيح دون القفز على مرحلة.

f1: sqrt(x + 2) | f2: 5/2 - x**2/8 | fenetre: -0.3 4.3 -0.5 4.3 | echelle: 60.0 | marges: 40.0 26.0 60.0 40.0 | ell: 2 | crans: 0 4 1/4 | marches: 8 L'escalier de u(n+1) = f(u(n)) monter à la courbe, revenir sur y = x, recommencer 1 3 4 1 2 3 4 y = x ℓ = 2 y = √(x + 2) y = 5/2 − x²/8 u₀ u₄
u₀ = 0,5
n = 4
La fonction
f(x) = √(x + 2) — croissante
Le premier terme
u₀ = 0,5
Le terme de rang n
u₄ ≈ 1,993
L'écart au point fixe
|u₄ − ℓ| ≈ 0,007
Ce que ça dit
f est croissante et u₀ < ℓ : la suite monte vers ℓ, marche après marche, sans jamais le dépasser.
Une marche, c'est un rang. On monte de u(n) jusqu'à la courbe — on lit u(n+1) = f(u(n)) — puis on revient sur la droite y = x, qui ramène ce résultat en abscisse, prêt pour le rang suivant. Quand on déplace u₀ de part et d'autre du point fixe, la suite monte, ou elle descend, et jamais elle ne traverse ℓ. Quand on change de fonction, la construction ne change pas d'un trait, mais l'escalier devient une spirale, parce que la courbe descend au lieu de monter. Dans les deux cas l'écart au point fixe diminue à chaque marche — c'est le nombre affiché qui le dit, car le dessin, lui, ne sépare bientôt plus les termes de ℓ.
  • دراسة منحى تغير متتالية
  • Majorer l'écart à la limite par une suite géométrique, puis conclure

22 سؤال/أسئلة بحساب مجاني