Dérivation et étude de fonctions

Approcher une courbe par une droite : de là viennent tangente, variations, extremums et tracé.

Mathématiques · Analyse · chapitre 2 sur 10

Ce chapitre s’ouvre avec un compte gratuit. Voici ce que l’arbre public en porte : l’intention de chaque partie, ses figures publiques, et ses savoir-faire.

Dérivabilité en un point

La définition du nombre dérivé et son sens géométrique. Sans elle, tu ne peux ni justifier une demi-tangente ni lire un point anguleux : beaucoup d'erreurs de fin d'année viennent d'ici.

Le sens qui marche: Dérivable en un point ⟹ continue en ce point. Toujours vrai, et c'est le théorème du bloc.
Le sens qui ne marche pas: Continue n'entraîne PAS dérivable, et |x| en 0 en est le contre-exemple de référence. La courbe ne s'interrompt pas — on la parcourt sans lever le crayon — mais elle a un COIN.
Ce que dit le coin: Le taux d'accroissement tend vers −1 quand on arrive par la gauche et vers +1 par la droite. Deux limites différentes : la limite n'existe pas, donc le nombre dérivé n'existe pas. Les deux demi-droites du dessin SONT ces deux limites.
L'usage en copie: C'est l'exemple à citer quand une question demande « la réciproque est-elle vraie ? ». Un contre-exemple bien choisi vaut une démonstration, et celui-ci tient en une ligne.

Une courbe sans rupture, et pourtant sans tangente en 0. La continuité se lit au fait qu'on ne lève pas le crayon ; la non-dérivabilité, au fait qu'arrivé au coin on ne sait pas dans quelle direction repartir — il y a deux pentes, −1 et +1, et pas de moyenne.

Étudier la dérivabilité en un point (à droite, à gauche) et l'interpréter : tangente, demi-tangente, point anguleux, valeur approchée

25 question(s) avec un compte gratuit

Calculer une dérivée

La partie mécanique : elle rapporte moins que les variations et le tracé, mais rien ne se fait sans elle. La composée est le point de rupture. C'est là que les copies se perdent, et c'est ce qui tombe presque chaque année.

La formule: Si f est bijective et dérivable en a avec f′(a) ≠ 0, alors f⁻¹ est dérivable en f(a) et (f⁻¹)′(f(a)) = 1/f′(a). Toute la difficulté est de savoir OÙ évaluer chaque membre.
Ce que le dessin règle: La symétrie d'axe y = x échange l'abscisse et l'ordonnée. Elle échange donc « monter de 3 en avançant de 1 » et « avancer de 3 en montant de 1 » : la pente devient son inverse. Il n'y a rien d'autre dans la formule.
Pourquoi pas (1 ; 1): Parce qu'il est SUR l'axe de symétrie : les deux tangentes s'y confondraient et la symétrie deviendrait invisible. On prend 3/2, dont le miroir 9/4 est bien ailleurs.
L'hypothèse cachée: x² n'est pas bijective sur ℝ — x et −x ont la même image — donc elle n'y a pas de réciproque. La figure la restreint à x ≥ 0, et cette restriction n'est pas un choix de cadrage : c'est une hypothèse du théorème.
Où ça tombe en examen: Sur f′(a) ≠ 0. Là où la tangente est horizontale, sa symétrique est VERTICALE : la réciproque n'y est pas dérivable. C'est le cas de √x en 0, visible au bord gauche de la figure.

Deux courbes en miroir, deux tangentes en miroir, et deux pentes inverses l'une de l'autre. La formule (f⁻¹)′(f(a)) = 1/f′(a) ne dit rien de plus que cette symétrie — et une symétrie d'axe y = x, par construction, échange ce qu'on avance et ce qu'on monte.

Calculer une dérivée : fonctions usuelles, somme, produit, quotient, dérivée seconde
Dériver une fonction composée : uⁿ, √u, 1/u, ⁿ√u, cos u, sin u
Calculer la dérivée de la fonction réciproque, en un point (y compris en fonction de α) ou sur un intervalle

52 question(s) avec un compte gratuit

Variations et extremums

Le passage du calcul à la lecture de la fonction. C'est le squelette de tout problème d'analyse au bac : tout ce qui suit — TVI, encadrement, tracé — s'appuie sur le tableau de variations.

le point de contact aa = 0,5

La fonction: f(x) = (x³ − 3x)/4 — un polynôme, dérivable sur ℝ
Le point de contact: a = 0,5
Le nombre dérivé: f′(a) ≈ −0,562
La tangente en ce point: y ≈ −0,562(x − 0,5) − 0,344
Le signe de f′(a): f′(a) < 0 — négatif
Ce que ça dit: f′(a) < 0 : la tangente descend, et f décroît autour de a. Sur tout un intervalle où f′ garde ce signe, f est strictement décroissante.

Le nombre dérivé f′(a) est la pente de la tangente en M : le petit triangle le dit sans un mot — on avance de 1, on monte de f′(a). Déplace a et regarde les trois zones ensemble. Quand le point du volet du milieu passe au-dessus de l'axe, la tangente se met à monter et la flèche du tableau se redresse ; quand il passe dessous, elle descend. Là où il touche l'axe, la tangente est horizontale — mais une tangente horizontale ne fait pas un extremum : c'est le CHANGEMENT DE SIGNE de f′ de part et d'autre qui le fait. Sur la seconde fonction, la double barre du tableau marque la valeur interdite : les deux branches ne communiquent pas, et c'est pour cela que le maximum local peut y être plus bas que le minimum local. Le volet du milieu n'est pas à la même échelle verticale que celui du haut : une dérivée est une PENTE, pas une longueur — on n'y lit que son signe et sa valeur.

Étudier les variations : signe de f′ (directement ou par une fonction auxiliaire), tableau complet, extremums, inégalité qui en découle

1 piège(s) avec un compte gratuit · 39 question(s) avec un compte gratuit

Convexité et points d'inflexion

La dérivée seconde dit comment la courbe se courbe, là où la première dit où elle monte. Une question de point d'inflexion tombe presque à chaque session — souvent 0,5 point pour trois lignes.

Étudier la concavité et les points d'inflexion (par f″, ou par les variations de f′)

1 question(s) avec un compte gratuit

Branches infinies et tracé

La fin du problème d'analyse. Elle vaut au moins un point et demi en Sciences Expérimentales, et souvent près de trois. Le tracé n'est pas une décoration : le barème l'exige, et il se note.

Étudier les branches infinies (asymptotes, branches paraboliques) et la position d'une courbe par rapport à une droite
Lire une courbe ou un tableau donnés : signe, nombre dérivé, limites, nombre de solutions, inéquations
Tracer la courbe de f et celle de f⁻¹, en exploitant symétries, parité, périodicité et domaine d'étude

1 piège(s) avec un compte gratuit · 123 question(s) avec un compte gratuit

Fonctions primitives

Toute la partie tient dans une question retournée. Jusqu'ici on donnait f et on cherchait f′ ; maintenant on donne f et on cherche une fonction dont la dérivée est f. Le tableau des dérivées ne change pas : on le lit de droite à gauche. Ce qui change, c'est qu'il n'y a plus une réponse mais une infinité, toutes distantes d'une constante. C'est cette constante qui décide de presque toutes les questions des chapitres 4, 5 et 6.

Déterminer les primitives d'une fonction : famille F + k, condition en un point, formes en u, transformation préalable

1 piège(s) avec un compte gratuit · 30 question(s) avec un compte gratuit