الاشتقاق ودراسة الدوال

كنقاربو منحنى بمستقيم، ومن هاد الفكرة وحدها كيخرج كولشي: المماس، والتغيرات، والقيم القصوية، والإنشاء.

Mathématiques · التحليل · الفصل 2 من 10

هذا الفصل يُفتح بحساب مجاني. وهذا ما تحمله الشجرة العمومية منه: نية كل جزء، ورسومه العمومية، ومهاراته.

القابلية للاشتقاق في نقطة

وضع التعريف ومعناه الهندسي. تكاد كل أخطاء آخر السنة تأتي من هنا: فالاشتقاق دون معرفة ما هو العدد المشتق يعني استحالة تعليل نصف مماس أو قراءة نقطة زاوية.

Le sens qui marche: Dérivable en un point ⟹ continue en ce point. Toujours vrai, et c'est le théorème du bloc.
Le sens qui ne marche pas: Continue n'entraîne PAS dérivable, et |x| en 0 en est le contre-exemple de référence. La courbe ne s'interrompt pas — on la parcourt sans lever le crayon — mais elle a un COIN.
Ce que dit le coin: Le taux d'accroissement tend vers −1 quand on arrive par la gauche et vers +1 par la droite. Deux limites différentes : la limite n'existe pas, donc le nombre dérivé n'existe pas. Les deux demi-droites du dessin SONT ces deux limites.
L'usage en copie: C'est l'exemple à citer quand une question demande « la réciproque est-elle vraie ? ». Un contre-exemple bien choisi vaut une démonstration, et celui-ci tient en une ligne.

Une courbe sans rupture, et pourtant sans tangente en 0. La continuité se lit au fait qu'on ne lève pas le crayon ; la non-dérivabilité, au fait qu'arrivé au coin on ne sait pas dans quelle direction repartir — il y a deux pentes, −1 et +1, et pas de moyenne.

دراسة القابلية للاشتقاق على اليسار وعلى اليمين، وتأويل أنصاف المماسات

25 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

حساب مشتقة

الجزء الآلي: مردوده أقل من التغيرات والإنشاء، لكن لا شيء يتم بدونه. والمركب هو نقطة الانكسار. هنا تضيع أوراق التحرير، وهذا ما يسقط في الامتحان كل سنة تقريبا.

La formule: Si f est bijective et dérivable en a avec f′(a) ≠ 0, alors f⁻¹ est dérivable en f(a) et (f⁻¹)′(f(a)) = 1/f′(a). Toute la difficulté est de savoir OÙ évaluer chaque membre.
Ce que le dessin règle: La symétrie d'axe y = x échange l'abscisse et l'ordonnée. Elle échange donc « monter de 3 en avançant de 1 » et « avancer de 3 en montant de 1 » : la pente devient son inverse. Il n'y a rien d'autre dans la formule.
Pourquoi pas (1 ; 1): Parce qu'il est SUR l'axe de symétrie : les deux tangentes s'y confondraient et la symétrie deviendrait invisible. On prend 3/2, dont le miroir 9/4 est bien ailleurs.
L'hypothèse cachée: x² n'est pas bijective sur ℝ — x et −x ont la même image — donc elle n'y a pas de réciproque. La figure la restreint à x ≥ 0, et cette restriction n'est pas un choix de cadrage : c'est une hypothèse du théorème.
Où ça tombe en examen: Sur f′(a) ≠ 0. Là où la tangente est horizontale, sa symétrique est VERTICALE : la réciproque n'y est pas dérivable. C'est le cas de √x en 0, visible au bord gauche de la figure.

Deux courbes en miroir, deux tangentes en miroir, et deux pentes inverses l'une de l'autre. La formule (f⁻¹)′(f(a)) = 1/f′(a) ne dit rien de plus que cette symétrie — et une symétrie d'axe y = x, par construction, échange ce qu'on avance et ce qu'on monte.

اشتقاق مجموع وجداء وخارج
اشتقاق دالة مركبة
اشتقاق دالة عكسية

52 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

التغيرات والقيم القصوية

الانتقال من الحساب إلى قراءة الدالة. إنه هيكل كل مسألة تحليل في الباكالوريا: كل ما يأتي بعده — مبرهنة القيم الوسيطية، والتأطير، والإنشاء — يستند إلى جدول التغيرات.

le point de contact aa = 0,5

La fonction: f(x) = (x³ − 3x)/4 — un polynôme, dérivable sur ℝ
Le point de contact: a = 0,5
Le nombre dérivé: f′(a) ≈ −0,562
La tangente en ce point: y ≈ −0,562(x − 0,5) − 0,344
Le signe de f′(a): f′(a) < 0 — négatif
Ce que ça dit: f′(a) < 0 : la tangente descend, et f décroît autour de a. Sur tout un intervalle où f′ garde ce signe, f est strictement décroissante.

Le nombre dérivé f′(a) est la pente de la tangente en M : le petit triangle le dit sans un mot — on avance de 1, on monte de f′(a). Déplace a et regarde les trois zones ensemble. Quand le point du volet du milieu passe au-dessus de l'axe, la tangente se met à monter et la flèche du tableau se redresse ; quand il passe dessous, elle descend. Là où il touche l'axe, la tangente est horizontale — mais une tangente horizontale ne fait pas un extremum : c'est le CHANGEMENT DE SIGNE de f′ de part et d'autre qui le fait. Sur la seconde fonction, la double barre du tableau marque la valeur interdite : les deux branches ne communiquent pas, et c'est pour cela que le maximum local peut y être plus bas que le minimum local. Le volet du milieu n'est pas à la même échelle verticale que celui du haut : une dérivée est une PENTE, pas une longueur — on n'y lit que son signe et sa valeur.

تحديد منحى التغير انطلاقا من إشارة المشتقة

1 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 39 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

التحدب ونقط الانعطاف

تقول المشتقة الثانية كيف ينحني المنحنى، بينما تقول الأولى أين يصعد. وسؤال نقطة الانعطاف يسقط في الامتحان في كل دورة تقريبا — غالبا 0,5 نقطة مقابل ثلاثة أسطر.

دراسة التحدب وتحديد نقط الانعطاف

1 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

الفروع اللانهائية والإنشاء

نهاية مسألة التحليل. تزن نقطة ونصفا على الأقل في العلوم التجريبية، وقرابة ثلاث نقط في الغالب. والإنشاء ليس زينة: يفرضه سلم التنقيط ويُنقَّط عليه.

تحديد المقاربات العمودية والأفقية والمائلة
تحديد إشارة، أو حلّ متفاوتة، بالقراءة البيانية
إنشاء المنحنى الممثل لدالة

1 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 123 سؤال/أسئلة بحساب مجاني

الدوال الأصلية

يقوم الجزء كله على سؤال مقلوب. كنا إلى حد الآن نعطي f ونبحث عن f′؛ والآن نعطي f ونبحث عن دالة مشتقتها هي f. جدول المشتقات لا يتغير: نقرؤه من اليمين إلى اليسار. ما يتغير هو أنه لم يعد هناك جواب واحد بل ما لا نهاية من الأجوبة، يفصل بينها ثابت. وهذا الثابت هو الذي يحسم تقريبا كل أسئلة الفصول 4 و 5 و 6.

تحديد دالة أصلية لدالة اعتيادية أو لصيغة بدلالة u

1 خطأ/أخطاء شائعة بحساب مجاني · 30 سؤال/أسئلة بحساب مجاني