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Mathématiques
Limites et continuité
Le chapitre qui porte tous les autres : ce vers quoi une fonction tend, et quand elle l'atteint.
Ce chapitre est ouvert en entier, sans compte : ce que vous lisez ci-dessous est le cours complet, tel qu’il est servi.
Lever une forme indéterminée
La partie mécanique, celle qui tombe dans chaque sujet. Une forme indéterminée n'est pas une limite qui n'existe pas : c'est une limite que l'écriture actuelle ne permet pas de lire. Tout le travail consiste à réécrire l'expression jusqu'à ce qu'elle se lise.
Choisir l'outil selon la forme
- Remplacer d'abord — beaucoup de limites se lisent directement, sans aucune indétermination.
- Si la forme est indéterminée, la nommer : ∞/∞, 0/0, ∞−∞ ou 0×∞. C'est elle qui dicte l'outil.
- ∞/∞ à l'infini : mettre le terme dominant en facteur, en haut et en bas.
- 0/0 en un point : factoriser par (x−a), ou multiplier par la quantité conjuguée s'il y a une racine.
- ∞−∞ : mettre en facteur, réduire au même dénominateur, ou passer par la conjuguée.
- Reconnaître une limite usuelle déguisée — un changement de variable suffit souvent à la faire apparaître.
Les quatre formes indéterminées
À ce stade de l'année, quatre écritures ne permettent pas de conclure directement : ∞∞, 00, ∞−∞ et 0×∞. Trois autres apparaîtront avec l'exponentielle, au chapitre 5.
Attention« Indéterminé » ne veut pas dire « pas de limite ». x2x et xx2 donnent toutes deux la forme ∞∞ en +∞, et pourtant la première tend vers +∞ et la seconde vers 0. La forme ne décide pas ; c'est l'expression qui décide.
Terme dominant, pour la forme ∞/∞
En +∞ ou −∞, un quotient de polynômes a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré : limx→±∞anxn+⋯bpxp+⋯=limx→±∞anxnbpxp.
RemarqueOn l'obtient en mettant xn en facteur en haut et xp en bas, puis en simplifiant. Ce raccourci ne vaut qu'en l'infini — jamais en un point fini.
Quantité conjuguée, pour 0/0 et ∞−∞
Quand une racine carrée bloque le calcul, on multiplie haut et bas par la quantité conjuguée : √A−√B se multiplie par √A+√B, ce qui donne A−B et fait disparaître les racines du numérateur.
Limite d'une composée — le changement de variable
Soient u et f deux fonctions. Si limx→au(x)=b et si limt→bf(t)=ℓ, alors limx→af(u(x))=ℓ. Les trois symboles a, b, ℓ peuvent être finis ou infinis.
AttentionLe rédiger, ne pas le sous-entendre. Une copie qui écrit « on pose t=3x » sans dire vers quoi tend t a sauté l'hypothèse du théorème, et le correcteur ne peut pas la deviner.
RemarqueC'est ce théorème, et lui seul, qui autorise à « poser t=u(x) ». Pour limx→0sin(3x)x, on pose t=3x : quand x→0, t→0, et sin(3x)x=3×sin tt→3. Cas particulier fréquent : si b est réel et si f est continue en b, alors limx→af(u(x))=f(b).
Limites usuelles à connaître par cœur
| Expression | Limite | Quand elle sert |
|---|---|---|
| sin xx en 0 | 1 | sert dès qu'un sinus côtoie un x |
| 1−cos xx2 en 0 | 12 | le x2 au dénominateur, pas x |
| tan xx en 0 | 1 | conséquence des deux premières |
| ln xx en +∞ | 0 | la puissance l'emporte sur le logarithme |
| xln x en 0+ | 0 | même hiérarchie, de l'autre côté |
| exx en +∞ | +∞ | l'exponentielle l'emporte sur la puissance |
Calculer limx→+∞3x2−x+1x2+2x.
La forme est ∞∞. On met le terme dominant en facteur, séparément en haut et en bas, puis on simplifie.
- Numérateur
- N(x)=3x2−x+1terme dominant x2, mis en facteur
- Dénominateur
- D(x)=x2+2xmême degré dominant, x2 aussi
N(x)D(x)=x2x2×3−1x+1x21+2x
- Les x2 se simplifient — c'est tout l'intérêt de la mise en facteur.
- Quand x→+∞, chaque terme en 1x ou 1x2 tend vers 0.
- Il reste 3−0+01+0.
Résultat limx→+∞3x2−x+1x2+2x=3
Calculer limx→0√1+x−1x.
La forme est 00 et une racine bloque le calcul : on multiplie par la quantité conjuguée.
- Expression de départ
- Q(x)=√1+x−1xnumérateur et dénominateur tendent tous deux vers 0
- Quantité conjuguée
- C(x)=√1+x+1c'est elle qui fera disparaître la racine
Q(x)=(√1+x−1)(√1+x+1)x(√1+x+1)
- Le numérateur devient (1+x)−1=x : la racine a disparu.
- On simplifie par x, licite car x≠0 quand x tend vers 0.
- Il reste 1√1+x+1, qui se lit directement.
Résultat limx→0√1+x−1x=12
45 exercices dans la série de cette partie.
Limites par comparaison
Quand l'expression résiste à toute réécriture — typiquement quand elle contient un sinus ou un cosinus — on cesse de vouloir la calculer et on l'encadre. On ne détermine pas la limite, on la coince.
Encadrer pour conclure
- Repérer la partie bornée de l'expression — presque toujours un sin ou un cos.
- Écrire son encadrement de base : −1≤sin u≤1, valable pour tout u.
- Multiplier ou diviser l'encadrement par le reste — en retournant les inégalités si le facteur est négatif.
- Calculer les limites des deux bords. Si elles coïncident, conclure par les gendarmes.
Théorème des gendarmes
Si g(x)≤f(x)≤h(x) au voisinage de a, et si g et h ont la même limite ℓ en a, alors f a pour limite ℓ en a.
RemarqueLes deux gendarmes doivent converger vers la même valeur. S'ils divergent, le théorème ne dit rien — l'encadrement est trop lâche et il faut le resserrer.
Comparaison vers l'infini
Si f(x)≥g(x) au voisinage de a et limx→ag(x)=+∞, alors limx→af(x)=+∞. Si f(x)≤g(x) et limx→ag(x)=−∞, alors limx→af(x)=−∞.
RemarqueIci un seul gendarme suffit : pour partir à l'infini, il suffit d'être poussé par en dessous.
Calculer limx→+∞sin xx.
5 exercices dans la série de cette partie.
Continuité et prolongement
La limite dit vers quoi la fonction tend ; la continuité dit qu'elle y arrive. Toute la suite du chapitre, TVI et bijection, repose sur cette hypothèse. L'oublier coûte les points de justification bien avant ceux du calcul.
Étudier la continuité en un point de raccord
- Vérifier que la fonction est définie en x0, et relever la valeur imposée f(x0).
- Calculer la limite à GAUCHE, avec l'expression valable à gauche.
- Calculer la limite à DROITE, avec l'expression valable à droite.
- Comparer les trois nombres : les deux limites et f(x0). Ils doivent coïncider.
- Si la fonction n'est pas définie en x0 mais que la limite est finie, conclure au prolongement.
Continuité en un point
f est continue en x0 si f est définie en x0 et si limx→x0f(x)=f(x0).
AttentionTrois conditions, pas une : la fonction doit être définie en x0, la limite doit exister, et les deux doivent être égales. Une limite qui existe sans valoir f(x0) donne une courbe avec un saut.
Continuité à gauche, à droite
f est continue à droite en x0 si limx→x0+f(x)=f(x0), et à gauche si limx→x0−f(x)=f(x0). f est continue en x0 si et seulement si elle l'est des deux côtés.
RemarqueC'est l'outil des fonctions définies par morceaux : au point de raccord, on calcule les deux limites séparément et on les compare à la valeur imposée.
Continuité sur un intervalle
f est continue sur un intervalle I si elle est continue en chaque point de I. Si I contient l'une de ses bornes, on demande en ce point la continuité du seul côté où se trouve I : sur [a,b], la continuité à droite en a et à gauche en b.
RemarqueC'est cette hypothèse, et non la continuité en un point, que demandent les théorèmes de la suite du chapitre : image d'un intervalle, valeurs intermédiaires, bijection. On ne la vérifie presque jamais point par point : on la lit sur les fonctions usuelles et sur les opérations du bloc suivant.
Continuité des fonctions usuelles, et opérations
Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions trigonométriques et x↦√x sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. Si f et g sont continues sur un intervalle I et si λ est un réel, alors f+g, fg et λf sont continues sur I, et fg l'est en tout point où g ne s'annule pas. Enfin, si f est continue sur I et g continue sur f(I), alors g∘f est continue sur I.
AttentionPour le quotient, la continuité ne vaut que là où le dénominateur ne s'annule pas — et sur un INTERVALLE. Un ensemble de définition troué se découpe en intervalles avant qu'on parle de continuité.
RemarqueCes résultats sont admis, et c'est ce qui permet d'écrire en une ligne « f est continue sur I comme somme (ou quotient, ou composée) de fonctions continues ». C'est la phrase que le correcteur cherche avant le théorème des valeurs intermédiaires : sans elle, le théorème n'a pas d'hypothèse.
Prolongement par continuité
Si f n'est pas définie en x0 mais que limx→x0f(x)=ℓ existe et est finie, on définit le prolongement f par f(x)=f(x) pour x≠x0 et f(x0)=ℓ. La fonction f est alors continue en x0.
AttentionLe prolongement n'est possible que si la limite est finie. Si elle vaut ±∞, il n'y a pas de trou à boucher : il y a une asymptote verticale.
Soit f(x)=x2−4x−2, définie sur ℝ−{2}. Peut-on prolonger f par continuité en 2 ?
17 exercices dans la série de cette partie.
Image d'un intervalle, image d'un segment
Une fonction continue transporte les intervalles en intervalles, et les segments en segments. De cette seule phrase sortent deux outils qui tombent chaque année. Le premier est l'ensemble image, dont on a besoin pour parler de bijection. Le second est le majorant M : on ne sait pas le calculer, on prouve seulement qu'il existe.
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue
- Vérifier la continuité sur l'intervalle, et le dire — c'est l'hypothèse du théorème, pas une formalité.
- Regarder la nature de l'intervalle : segment [a,b], ou intervalle ouvert ou non borné. Elle décide de la forme de la réponse.
- Établir les variations sur l'intervalle — c'est le tableau de variations qui donne le minimum et le maximum.
- Si f est strictement monotone sur tout l'intervalle : lire les deux extrémités, en remplaçant par la limite chaque borne non atteinte, et en gardant le crochet ouvert dans ce cas.
- Sinon, découper l'intervalle en morceaux monotones, calculer l'image de chacun, et réunir : l'image totale est la réunion, qui reste un intervalle.
- Si l'énoncé demande seulement un majorant — « montrer qu'il existe M tel que |f(x)|≤M » — ne rien calculer : la continuité sur le segment suffit à conclure.
Image d'un intervalle, image d'un segment
Soit f continue sur un intervalle I. Alors f(I) est un intervalle. Si de plus I=[a,b] est un segment, alors f([a,b]) est un segment : il existe deux réels m≤M tels que f([a,b])=[m,M]. Ces deux réels appartiennent à f([a,b]) : ce sont donc le minimum et le maximum de f sur [a,b].
RemarqueCe résultat est admis : il n'y a pas de démonstration à produire. Il donne directement le théorème des valeurs intermédiaires. Si f([a,b]) est un intervalle qui contient f(a) et f(b), il contient tout ce qu'il y a entre les deux.
Sur un segment, une fonction continue est bornée et atteint ses bornes
Si f est continue sur le segment [a,b], alors f est bornée sur [a,b], et elle atteint ses bornes : il existe x1 et x2 dans [a,b] tels que f(x1)=m, f(x2)=M et m≤f(x)≤M pour tout x∈[a,b]. En particulier, il existe un réel M0≥0 tel que |f(x)|≤M0 pour tout x∈[a,b].
AttentionLes deux hypothèses portent, et le théorème tombe dès qu'on en retire une. Sans le segment : x↦1x est continue sur ]0 ; 1], et elle n'y est pas bornée. Sans la continuité : la fonction qui vaut 1x sur ]0 ; 1] et 0 en 0 est définie sur tout le segment [0 ; 1], et elle n'y est pas bornée non plus. Il faut le segment et la continuité.
Le cas strictement monotone — la seule fois où les bornes suffisent
Si f est continue et strictement monotone sur I, l'image se lit directement aux bornes de I, en respectant le sens : sur [a,b], f([a,b])=[f(a),f(b)] si f est croissante, et [f(b),f(a)] si elle est décroissante. Le procédé vaut aussi quand I est ouvert ou non borné, à condition de remplacer la valeur manquante par la limite et de garder le crochet ouvert : f(]a,+∞[)=]limx→a+f(x), limx→+∞f(x)[ pour f croissante.
RemarqueC'est cette forme-là qui sert au théorème de la bijection : l'ensemble d'arrivée d'une réciproque n'est rien d'autre que l'intervalle image (voir la partie 6).
Sans monotonie, les deux bouts ne disent rien
Écrire f([a,b])=[f(a),f(b)] sans avoir établi la stricte monotonie est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le minimum et le maximum d'une fonction continue peuvent parfaitement être atteints À L'INTÉRIEUR du segment, et alors aucune des deux valeurs f(a), f(b) n'est une borne de l'image.
AttentionLe contrôle qui coûte trois secondes : si f(a)>f(b) et que le résultat annoncé s'écrit [f(a),f(b)], l'intervalle est vide — c'est qu'on a lu les bornes sans regarder les variations.
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x2−4x+7. Déterminer l'image du segment [0 ; 3] par f.
Soit g une fonction continue sur le segment [0 ; 1]. Montrer qu'il existe un réel M≥0 tel que, pour tout x∈[0 ; 1], |g(x)|≤M.
7 exercices dans la série de cette partie.
Le théorème des valeurs intermédiaires
Le TVI prouve qu'une équation admet une solution, sans jamais la calculer. Il tombe dans cinq sujets sur six en Sciences Maths, dans un sur trois en Sciences Expérimentales. Il se rédige en trois lignes toujours les mêmes, et la ligne qu'on oublie est celle de la continuité.
Rédiger une application du TVI
- Nommer la fonction et l'intervalle, et vérifier la continuité — c'est la ligne que les correcteurs cherchent.
- Calculer f(a) et f(b), et constater qu'ils encadrent k (souvent qu'ils sont de signes contraires, avec k=0).
- Conclure à l'existence par le TVI.
- Si l'unicité est demandée, établir la stricte monotonie et seulement alors conclure à l'unicité.
- Pour encadrer, appliquer la dichotomie et annoncer la précision obtenue.
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f continue sur [a,b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un c∈[a,b] tel que f(c)=k.
RemarqueDit autrement : une fonction continue ne saute aucune valeur intermédiaire. Pour passer de f(a) à f(b), elle est obligée de prendre toutes les valeurs entre les deux.
Cas strictement monotone — l'unicité
Si de plus f est strictement monotone sur [a,b], alors le réel c est unique.
AttentionLe TVI seul donne l'existence, jamais l'unicité. « Il existe une unique solution » exige les deux hypothèses, et un énoncé qui demande l'unicité attend explicitement la stricte monotonie dans la rédaction.
Dichotomie
Pour encadrer la solution, on coupe l'intervalle en deux et on garde la moitié où f change de signe. Chaque étape divise l'amplitude par deux : après n étapes, l'encadrement a une largeur b−a2n.
Montrer que l'équation x3+x−1=0 admet une unique solution α dans [0 ; 1], puis en donner un encadrement d'amplitude 14.
56 exercices dans la série de cette partie.
Fonction réciproque
Le TVI dit qu'une valeur est atteinte ; la bijection dit qu'elle l'est une seule fois, et permet donc de remonter de l'image à l'antécédent. C'est ainsi qu'on fabrique la racine n-ième — et, en Sciences Maths, l'arctangente.
Montrer qu'une fonction admet une réciproque
- Préciser l'intervalle I sur lequel on travaille — le choix de I fait partie de la réponse.
- Justifier la continuité sur I.
- Établir la stricte monotonie, en général par le signe de la dérivée.
- Déterminer J=f(I) par les limites aux bornes : c'est l'ensemble de définition de f−1.
- Conclure par le théorème de la bijection, et donner le sens de variation de f−1, identique à celui de f.
Théorème de la bijection (théorème des fonctions réciproques)
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f réalise une bijection de I vers l'intervalle J=f(I). Elle admet donc une fonction réciproque f−1, définie de J vers I, elle-même continue et de même sens de variation que f.
RemarqueJ ne se choisit pas : c'est l'image f(I), et elle dépend de I. Changer I change J, donc change f−1 — sur ℝ entier, x↦x2 n'est pas bijective ; restreinte à [0 ; +∞[ elle l'est, et sa réciproque est la racine carrée. Ce qu'on choisit est la restriction, jamais l'ensemble d'arrivée.
Ce qui caractérise la réciproque
Pour tout x∈I et tout y∈J : f−1(f(x))=x et f(f−1(y))=y. De plus y=f(x)⟺x=f−1(y).
RemarqueCette équivalence est l'outil de calcul : pour trouver f−1(y0), on résout f(x)=y0. On n'a jamais besoin de l'expression générale de f−1.
Symétrie des deux courbes
Dans un repère orthonormé, les courbes de f et de f−1 sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.
AttentionLa symétrie n'a lieu que si le repère est orthonormé. Dans un repère orthogonal quelconque, le tracé de f−1 n'est pas le reflet de celui de f.
Racine n-ième et puissances rationnelles
Pour n≥2, la fonction x↦xn est continue et strictement croissante sur [0,+∞[ : elle y réalise une bijection. Sa réciproque est la racine n-ième, x↦n√x. Pour x>0 et r=pq, où p∈ℤ et où q est un entier vérifiant q≥2 — tout rationnel s'écrit ainsi —, on pose xr=q√xp. Le résultat ne dépend pas de l'écriture retenue : si pq=p′q′, alors q√xp=q′√xp′. Les règles des exposants restent valables : pour x>0, y>0 et r, s rationnels, xrxs=xr+s, (xr)s=xrs, (xy)r=xryr et x−r=1xr. Pour x≥0 et y≥0 : (n√x)n=n√xn=x, n√xy=n√xn√y, m√n√x=mn√x, et n√x<n√y⟺x<y.
RemarquePour r réel non rationnel, xr se définit par xr=erln x (avec x>0) : c'est fait au chapitre 5. Ici, tout ce qui suit ne demande que les rationnels.
Soit f(x)=x3+x définie sur ℝ. Montrer que f admet une fonction réciproque f−1, préciser son ensemble de définition, puis calculer f−1(2).
62 exercices dans la série de cette partie.