fhamtha.ma › الدرس › النهايات والاتصال

Mathématiques

النهايات والاتصال

هاد الدرس هو اللي كيحمل كولشي: النهاية كتقول فين كتمشي دالة، والاتصال كيقول ملي كتوصل ليها.

Mathématiques · التحليل · الفصل 1 من 10

هذا الفصل مفتوح كاملا بلا حساب: ما تقرؤونه أسفله هو الدرس كاملا كما يُقدَّم.

رفع حالة عدم التحديد

الجزء الآلي، وهو الذي يرد في كلّ موضوع. حالة عدم التحديد ليست نهاية غير موجودة : بل هي نهاية لا تسمح الكتابة الحالية بقراءتها. والعمل كلّه يقوم على إعادة كتابة التعبير إلى أن يصبح مقروءا.

الطريقة

اختيار الأداة حسب الحالة

عوّض أولا — كثير من النهايات تُقرأ مباشرة، دون أي حالة عدم تحديد.
إذا كان الشكل غير محدَّد، فسمِّه: ∞/∞ أو 0/0 أو ∞−∞ أو 0×∞. فهو الذي يفرض الأداة.
∞/∞ بجوار اللانهاية: عمِّل الحدّ المهيمن في البسط وفي المقام.
0/0 في نقطة: عمِّل بـ (x−a)، أو اضرب في المقدار المرافق إن وُجد جذر.
∞−∞: عمِّل، أو وحِّد المقامات، أو مرّ عبر المقدار المرافق.
تعرَّف على نهاية اعتيادية متنكّرة — كثيرا ما يكفي تغيير المتغير لإظهارها.

تعريف

حالات عدم التحديد الأربع

في هذه المرحلة من السنة، أربع كتابات لا تسمح بالاستنتاج مباشرة : ∞∞ و 00 و ∞−∞ و 0×∞. وستظهر ثلاث كتابات أخرى مع الدالة الأسية، في الفصل الخامس.

تنبيه«غير محدَّدة» لا تعني «بلا نهاية». x²x و xx² يعطيان كلاهما الشكل ∞∞ في +∞، ومع ذلك تؤول الأولى إلى +∞ والثانية إلى 0. فالشكل لا يحسم؛ التعبير هو الذي يحسم.

خاصية

الحدّ المهيمن، لحالة ∞/∞

بجوار +∞ أو −∞، لخارج حدوديتين نفس نهاية خارج حدّيهما ذوي الدرجة الأكبر : lim_x→±∞a_nxⁿ+⋯b_px^p+⋯=lim_x→±∞a_nxⁿb_px^p.

ملاحظةنحصل على ذلك بتعميل xⁿ في البسط و x^p في المقام، ثمّ بالاختزال. وهذا الاختصار لا يصلح إلّا بجوار اللانهاية — ولا يصلح أبدا في نقطة منتهية.

خاصية

المقدار المرافق، لحالتي 0/0 و ∞−∞

عندما يعيق جذر مربّع الحساب، نضرب البسط والمقام في المقدار المرافق : المقدار √A−√B يُضرب في √A+√B، فينتج A−B وتختفي الجذور من البسط.

مبرهنة

نهاية مركّب دالتين — تغيير المتغير

لتكن u و f دالتين. إذا كان lim_x→au(x)=b وكان lim_t→bf(t)=ℓ، فإنّ lim_x→af(u(x))=ℓ. والرموز الثلاثة a و b و ℓ يمكن أن تكون منتهية أو لامنتهية.

تنبيهتُكتب هذه الفرضية صراحة ولا تُترك ضمنية. فالورقة التي تكتفي بـ «نضع t=3x» دون ذكر ما يؤول إليه t تكون قد أسقطت فرضية المبرهنة، ولا يمكن للمصحّح أن يخمّنها.

ملاحظةهذه المبرهنة، وهي وحدها، هي التي تسمح بوضع t=u(x). فلحساب lim_x→0sin(3x)x، نضع t=3x : عندما x→0 يكون t→0، ويكون sin(3x)x=3×sin tt→3.

وجب حفظه

النهايات الاعتيادية التي يجب حفظها

التعبير	النهاية	متى تُستعمل
sin `xx` في 0	1	تُستعمل كلما جاور الجيبُ `x`
1−cos `xx`² في 0	12	المقام فيه `x`²، لا `x`
tan `xx` في 0	1	نتيجة للنهايتين الأوليين
ln `xx` بجوار +∞	0	القوة تغلب اللوغاريتم
`x`ln `x` في 0⁺	0	الترتيب نفسه، من الجهة الأخرى
`e`^x`x` بجوار +∞	+∞	الدالة الأسية تغلب القوة

مثال

احسب lim_x→+∞3x²−x+1x²+2x.

La forme est ∞∞. On met le terme dominant en facteur, séparément en haut et en bas, puis on simplifie.

Numérateur: N(x)=3x²−x+1الحد المهيمن x²، موضوعا كعامل مشترك
Dénominateur: D(x)=x²+2xنفس الدرجة المهيمنة، x² كذلك

N(x)D(x)=x²x²×3−1x+1x²1+2x

تختزل x² — وهذه هي كل فائدة التعميل.
عندما x→+∞، يؤول كل حدّ من الشكل 1x أو 1x² إلى 0.
يبقى 3−0+01+0.

النتيجة lim_x→+∞3x²−x+1x²+2x=3

مثال آخر

احسب lim_x→0√1+x−1x.

La forme est 00 et une racine bloque le calcul : on multiplie par la quantité conjuguée.

Expression de départ: Q(x)=√1+x−1xالبسط والمقام يؤولان معا إلى 0
Quantité conjuguée: C(x)=√1+x+1هي التي ستجعل الجذر يختفي

Q(x)=(√1+x−1)(√1+x+1)x(√1+x+1)

يصير البسط (1+x)−1=x : اختفى الجذر.
نختزل بـ x، وهذا جائز لأن x≠0 عندما يؤول x إلى 0.
يبقى 1√1+x+1، وهو يُقرأ مباشرة.

النتيجة lim_x→0√1+x−1x=12

45 تمرينا في سلسلة هذا الجزء.

النهايات بالمقارنة

عندما يستعصي التعبير على كلّ إعادة كتابة — وذلك عادة حين يتضمّن جيبا أو جيب تمام — نكفّ عن محاولة حسابه ونؤطّره. فنحن هنا لا نحدّد النهاية، بل نحصرها.

الطريقة

التأطير للاستنتاج

حدّد الجزء المحدود من التعبير — وهو في الغالب الأعمّ sin أو cos.
اكتب تأطيره الأساسي: −1≤sin u≤1، وهو صالح لكلّ u.
اضرب التأطير في الباقي أو اقسمه عليه — مع عكس المتفاوتات إن كان العامل سالبا.
احسب نهايتي الطرفين. فإذا تطابقتا، استنتج بمبرهنة الحصر.

مبرهنة

مبرهنة الحصر

إذا كان g(x)≤f(x)≤h(x) بجوار a، وكانت لـ g و h نفس النهاية ℓ في a، فإنّ نهاية f في a هي ℓ.

ملاحظةيجب أن تتقارب الدالّتان الحاصرتان نحو نفس القيمة. فإذا تباعدتا، لا تقول المبرهنة شيئا — يكون التأطير حينئذ واسعا أكثر ممّا ينبغي، ويجب تضييقه.

مبرهنة

المقارنة نحو اللانهاية

إذا كان f(x)≥g(x) بجوار a و lim_x→ag(x)=+∞، فإنّ lim_x→af(x)=+∞. وإذا كان f(x)≤g(x) و lim_x→ag(x)=−∞، فإنّ lim_x→af(x)=−∞.

ملاحظةهنا تكفي دالّة حاصرة واحدة : فللذهاب إلى اللانهاية يكفي أن تُدفع من الأسفل.

مثال

احسب lim_x→+∞sin xx.

5 تمرينا في سلسلة هذا الجزء.

الاتصال والتمديد بالاتصال

النهاية تقول نحو ماذا تؤول الدالة ؛ والاتصال يقول إنّها تبلغه. وكلّ ما يأتي بعد ذلك في الفصل، مبرهنة القيم الوسيطية والتقابل، يقوم على هذا الفرض. ونسيانه يكلّف نقط التعليل قبل نقط الحساب بكثير.

الطريقة

دراسة الاتصال في نقطة وصل

تحقّق من أن الدالة معرّفة في x₀، وسجّل القيمة المفروضة f(x₀).
احسب النهاية على اليسار، بالتعبير الصالح على اليسار.
احسب النهاية على اليمين، بالتعبير الصالح على اليمين.
قارن الأعداد الثلاثة : النهايتين و f(x₀). يجب أن تتطابق.
إذا لم تكن الدالة معرّفة في x₀ وكانت النهاية منتهية، فاستنتج التمديد بالاتصال.

تعريف

الاتصال في نقطة

تكون f متصلة في x₀ إذا كانت f معرّفة في x₀ وكان lim_x→x₀f(x)=f(x₀).

تنبيهثلاثة شروط، لا شرط واحد: يجب أن تكون الدالة معرَّفة في x₀، ويجب أن تكون النهاية موجودة، ويجب أن يتساوى الاثنان. نهاية موجودة لا تساوي f(x₀) تعطي منحنى فيه قفزة.

تعريف

الاتصال على اليسار وعلى اليمين

تكون f متصلة على اليمين في x₀ إذا كان lim_x→x₀⁺f(x)=f(x₀)، ومتصلة على اليسار إذا كان lim_x→x₀⁻f(x)=f(x₀). وتكون f متصلة في x₀ إذا وفقط إذا كانت متصلة من الجهتين معا.

ملاحظةهذه هي أداة الدوالّ المعرّفة بعدّة تعابير : في نقطة الوصل، نحسب النهايتين على حدة ثمّ نقارنهما بالقيمة المفروضة.

تعريف

Continuité sur un intervalle

f est continue sur un intervalle I si elle est continue en chaque point de I. Si I contient l'une de ses bornes, on demande en ce point la continuité du seul côté où se trouve I : sur [a,b], la continuité à droite en a et à gauche en b.

ملاحظةC'est cette hypothèse, et non la continuité en un point, que demandent les théorèmes de la suite du chapitre : image d'un intervalle, valeurs intermédiaires, bijection. On ne la vérifie presque jamais point par point : on la lit sur les fonctions usuelles et sur les opérations du bloc suivant.

خاصية

اتصال الدوال الاعتيادية، والعمليات عليها

الدوال الحدودية والدوال الجذرية والدوال المثلثية والدالة x↦√x متصلة على كلّ مجال من مجموعة تعريفها. وإذا كانت f و g متصلتين على مجال I وكان λ عددا حقيقيا، فإنّ f+g و fg و λf متصلة على I، وكذلك fg في كلّ نقطة لا تنعدم فيها g. وأخيرا، إذا كانت f متصلة على I وكانت g متصلة على f(I)، فإنّ g∘f متصلة على I.

تنبيهفي حالة الخارج، لا يصحّ الاتصال إلا حيث لا ينعدم المقام — وعلى مجال. فمجموعة تعريف مثقوبة تُقسَّم إلى مجالات قبل الحديث عن الاتصال.

ملاحظةهذه النتائج مقبولة دون برهان، وهي التي تسمح بأن يُكتب في سطر واحد : «f متصلة على I باعتبارها مجموع (أو خارج، أو مركّب) دوال متصلة». وهذه هي العبارة التي يبحث عنها المصحّح قبل مبرهنة القيم الوسيطية : بدونها تبقى المبرهنة بلا فرضية.

تعريف

التمديد بالاتصال

إذا كانت f غير معرّفة في x₀ لكن النهاية lim_x→x₀f(x)=ℓ موجودة ومنتهية، نعرّف الممدّدة f بما يلي : f(x)=f(x) لكلّ x≠x₀ و f(x₀)=ℓ. وتكون الدالة f حينئذ متصلة في x₀.

تنبيهالتمديد لا يمكن إلا إذا كانت النهاية منتهية. فإذا كانت تساوي ±∞، فلا توجد ثغرة لسدّها: بل يوجد مقارب عمودي.

مثال

لتكن f(x)=x²−4x−2، المعرّفة على ℝ−{2}. هل يمكن تمديد f بالاتصال في 2 ؟

17 تمرينا في سلسلة هذا الجزء.

صورة مجال، صورة قطعة

الدالة المتصلة تنقل المجالات إلى مجالات، والقطع إلى قطع. ومن هذه الجملة وحدها تنبثق أداتان تردان كلّ سنة. الأولى هي مجموعة الصور، التي نحتاجها للكلام عن التقابل. والثانية هي الكابر M : لا نعرف حسابه، وإنّما نثبت وجوده فقط.

الطريقة

تحديد صورة مجال بدالة متصلة

تحقّق من الاتصال على المجال، وقُلْه صراحة — فهو فرضية المبرهنة، لا إجراء شكليا.
انظر في طبيعة المجال : قطعة [a,b]، أو مجال مفتوح، أو مجال غير محدود. فهي التي تحسم شكل الجواب.
أثبت التغيرات على المجال — فجدول التغيرات هو الذي يعطي القيمة الدنوية والقيمة القصوية.
إذا كانت f رتيبة قطعا على المجال كلّه : اقرأ الطرفين، مع تعويض كلّ حدّ غير مبلوغ بالنهاية، والإبقاء على القوس مفتوحا في هذه الحالة.
وإلا، فقسِّم المجال إلى أجزاء رتيبة، واحسب صورة كلّ جزء، ثم اجمعها في اتحاد : الصورة الكلية هي هذا الاتحاد، وهو يبقى مجالا.
إذا اكتفى نصّ التمرين بطلب عدد حاصر — « بيّن أنه يوجد M بحيث |f(x)|≤M » — فلا تحسب شيئا : الاتصال على القطعة يكفي للاستنتاج.

مبرهنة

صورة مجال، صورة قطعة

لتكن f متصلة على مجال I. حينئذ f(I) مجال. وإذا كان زيادة على ذلك I=[a,b] قطعة، فإنّ f([a,b]) قطعة : يوجد عددان حقيقيان m≤M بحيث f([a,b])=[m,M]. وينتمي هذان العددان إلى f([a,b]) : فهما إذن القيمة الدنوية والقيمة القصوية للدالة f على [a,b].

ملاحظةهذه النتيجة مقبولة دون برهان : لا يُطلب منك أيّ برهان. ومنها تأتي مباشرة مبرهنة القيم الوسيطية. فإذا كان f([a,b]) مجالا يحتوي على f(a) و f(b)، فهو يحتوي على كلّ ما بينهما.

مبرهنة

على قطعة، الدالة المتصلة محدودة وتبلغ حدّيها

إذا كانت f متصلة على القطعة [a,b]، فإنّ f محدودة على [a,b]، وهي تبلغ حدّيها : يوجد x₁ و x₂ في [a,b] بحيث f(x₁)=m و f(x₂)=M و m≤f(x)≤M لكلّ x∈[a,b]. وخاصة، يوجد عدد حقيقي M₀≥0 بحيث |f(x)|≤M₀ لكلّ x∈[a,b].

تنبيهالفرضيّتان معًا لازمتان، والمبرهنة تسقط بمجرّد حذف إحداهما. بدون القطعة : الدالة x↦1x متصلة على ]0 ; 1]، وهي غير محدودة عليه. وبدون الاتصال : الدالة التي تساوي 1x على ]0 ; 1] و 0 في 0 معرَّفة على القطعة [0 ; 1] كاملة، وهي كذلك غير محدودة عليها. لا بدّ من القطعة والاتصال معًا.

خاصية

حالة الرتابة القطعية — المرّة الوحيدة التي يكفي فيها الحدّان

إذا كانت f متصلة ورتيبة قطعا على I، تُقرأ الصورة مباشرة عند حدّي I، مع احترام المنحى : على [a,b]، يكون f([a,b])=[f(a),f(b)] إذا كانت f تزايدية، و [f(b),f(a)] إذا كانت تناقصية. وتصلح الطريقة أيضا عندما يكون I مفتوحا أو غير محدود، شريطة تعويض القيمة الناقصة بالنهاية والإبقاء على القوس مفتوحا : f(]a,+∞[)=]lim_x→a⁺f(x), lim_x→+∞f(x)[ إذا كانت f تزايدية.

ملاحظةهذه الصيغة بالذات هي التي تخدم مبرهنة الدوالّ التقابلية : فمجموعة الوصول لدالة عكسية ليست سوى المجال الصورة (انظر الجزء 5).

piege

بدون رتابة، لا يقول الحدّان شيئا

كتابة f([a,b])=[f(a),f(b)] دون إثبات الرتابة القطعية هي الخطأ الأكثر تواترا في هذا الفصل. فالقيمة الدنوية والقيمة القصوية لدالة متصلة يمكن أن تُبلغا داخل القطعة تماما، وحينئذ لا تكون أيّ من القيمتين f(a) و f(b) حدّا للصورة.

تنبيهالفحص الذي يكلّف ثلاث ثوانٍ: إذا كان f(a)>f(b) وكانت النتيجة المعلنة تُكتب [f(a),f(b)]، فإن المجال فارغ — وذلك لأن الحدّين قُرئا دون النظر إلى التغيرات.

مثال

لتكن f الدالة المعرّفة على ℝ بما يلي : f(x)=x²−4x+7. حدّد صورة القطعة [0 ; 3] بالدالة f.

مثال آخر

لتكن g دالة متصلة على القطعة [0 ; 1]. بيّن أنّه يوجد عدد حقيقي M≥0 بحيث، لكلّ x∈[0 ; 1]، |g(x)|≤M.

7 تمرينا في سلسلة هذا الجزء.

مبرهنة القيم الوسيطية

مبرهنة القيم الوسيطية تثبت أنّ للمعادلة حلّا دون حسابه أبدا. ترد في خمسة مواضيع من ستّة في العلوم الرياضية، وفي واحد من ثلاثة في العلوم التجريبية. وتُحرّر في ثلاثة أسطر لا تتغيّر، والسطر الذي يُنسى هو سطر الاتصال.

الطريقة

تحرير تطبيق لمبرهنة القيم الوسيطية

سمِّ الدالة والمجال، وتحقّق من الاتصال — فهذا هو السطر الذي يبحث عنه المصحّحون.
احسب f(a) و f(b)، ولاحظ أنهما يؤطّران k (وغالبا أنهما مختلفا الإشارة، مع k=0).
استنتج الوجود بمبرهنة القيم الوسيطية.
إذا طُلبت الوحدانية، فأثبت الرتابة القطعية، وحينئذ فقط استنتج الوحدانية.
وللتأطير، طبّق طريقة التفرع الثنائي وأعلن الدقة المحصّل عليها.

مبرهنة

مبرهنة القيم الوسيطية

لتكن f متصلة على [a,b]. لكلّ عدد حقيقي k محصور بين f(a) و f(b)، يوجد على الأقلّ c∈[a,b] بحيث f(c)=k.

ملاحظةبعبارة أخرى : الدالة المتصلة لا تقفز فوق أيّ قيمة وسيطية. فللانتقال من f(a) إلى f(b)، هي مضطرّة إلى أخذ جميع القيم المحصورة بينهما.

مبرهنة

حالة الرتابة القطعية — الوحدانية

إذا كانت f زيادة على ذلك رتيبة قطعا على [a,b]، فإنّ العدد الحقيقي c وحيد.

تنبيهمبرهنة القيم الوسيطية وحدها تعطي الوجود، لا الوحدانية أبدا. عبارة «يوجد حل وحيد» تتطلب الفرضيتين معا، والسؤال الذي يطلب الوحدانية ينتظر صراحة إثبات الرتابة القطعية في التحرير.

methode_courte

طريقة التفرع الثنائي (dichotomie)

لتأطير الحلّ، نقسم المجال إلى نصفين ونحتفظ بالنصف الذي تغيّر فيه f إشارتها. وكلّ مرحلة تقسم الطول على اثنين : بعد n مرحلة، يصير طول التأطير b−a2ⁿ.

مثال

بيّن أنّ المعادلة x³+x−1=0 تقبل حلّا وحيدا α في [0 ; 1]، ثمّ أعط تأطيرا له طوله 14.

56 تمرينا في سلسلة هذا الجزء.

الدالة العكسية

مبرهنة القيم الوسيطية تقول إنّ قيمة ما تُبلغ ؛ والتقابل يقول إنّها تُبلغ مرّة واحدة فقط، ويسمح بالتالي بالرجوع من الصورة إلى السابق. وهكذا يُصنع الجذر من الرتبة n — وفي العلوم الرياضية، دالة Arctan.

الطريقة

بيان أنّ دالة تقبل دالة عكسية

حدّد المجال I الذي نشتغل عليه — فاختيار I جزء من الجواب.
علّل الاتصال على I.
أثبت الرتابة القطعية، وذلك عادة بإشارة المشتقة.
حدّد J=f(I) بالنهايات عند الحدّين : فهو مجموعة تعريف f⁻¹.
استنتج بمبرهنة التقابل، وأعطِ منحى تغيّرات f⁻¹، وهو نفس منحى تغيّرات f.

مبرهنة

مبرهنة التقابل

إذا كانت f متصلة ورتيبة قطعا على مجال I، فإنّ f تقابل من I نحو المجال J=f(I). وتقبل إذن دالة عكسية f⁻¹، معرّفة من J نحو I، متصلة هي أيضا ولها نفس منحى تغيّرات f.

ملاحظةالمجال J لا يُختار : فهو الصورة f(I)، وهو يتعلّق بـ I. تغيير I يغيّر J، فيغيّر f⁻¹ — فعلى ℝ كلّه، الدالة x↦x² ليست تقابلا ؛ ومقصورة على [0 ; +∞[ تصير تقابلا، ودالتها العكسية هي الجذر المربّع. فما نختاره هو المقصورة، لا مجموعة الوصول أبدا.

خاصية

ما يميّز الدالة العكسية

لكلّ x∈I ولكلّ y∈J : f⁻¹(f(x))=x و f(f⁻¹(y))=y. زيادة على ذلك y=f(x)⟺x=f⁻¹(y).

ملاحظةهذا التكافؤ هو أداة الحساب : لإيجاد f⁻¹(y₀)، نحلّ المعادلة f(x)=y₀. ولا نحتاج أبدا إلى التعبير العامّ لـ f⁻¹.

خاصية

تماثل المنحنيين

في معلم متعامد ممنظم، منحنى f ومنحنى f⁻¹ متماثلان بالنسبة للمستقيم الذي معادلته y=x.

تنبيهالتماثل لا يحصل إلا إذا كان المعلم متعامدا ممنظما. وفي معلم متعامد عادي، لا يكون منحنى f⁻¹ انعكاسا لمنحنى f.

تعريف

الجذر من الرتبة n والقوى الجذرية

لكلّ n≥2، الدالة x↦xⁿ متصلة وتزايدية قطعا على [0,+∞[ : فهي تقابل عليه. ودالتها العكسية هي الجذر من الرتبة n، أي x↦ⁿ√x. ولكلّ x>0 و r=pq، حيث p∈ℤ وحيث q عدد صحيح يحقّق q≥2 — وكلّ عدد جذري يُكتب هكذا —، نضع x^r=^q√x^p. والنتيجة لا تتعلّق بالكتابة المختارة : إذا كان pq=p′q′، فإنّ ^q√x^p=^q′√x^p′. وتبقى قواعد الأسس الاعتيادية صالحة.

ملاحظةأمّا إذا كان r عددا حقيقيا غير جذري، فإنّ x^r يُعرَّف بـ x^r=e^rln x (مع x>0) : وهذا يُنجَز في الفصل الخامس، وهو الشكل الذي يقصده مقرّر شعبة العلوم التجريبية حين يكتب r∈ℝ^*. وهنا، كلّ ما يلي لا يتطلّب سوى الأعداد الجذرية.

مثال

لتكن f(x)=x³+x المعرّفة على ℝ. بيّن أنّ f تقبل دالة عكسية f⁻¹، وحدّد مجموعة تعريفها، ثمّ احسب f⁻¹(2).

62 تمرينا في سلسلة هذا الجزء.