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Sujet national
National 2024 · SM · session rattrapage
Exercice 1 — Analyse
6.5 pt(s)Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction numérique fn définie sur [0,+∞[ par fn(0)=0 et ∀x∈]0,+∞[ ; fn(x)=x−xnln x. On note (Cn) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. a)Montrer que fn est continue à droite en 0.0.25
1. b)Montrer que : limx→+∞fn(x)=−∞ et limx→+∞fn(x)x=−∞ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.75
1. c)Montrer que fn est dérivable à droite en 0 et que son nombre dérivé à droite en 0 est égal à 1.0.5
1. d)Montrer que fn est dérivable sur ]0,+∞[ et que : ∀x∈]0,+∞[ ; fn′(x)=1−xn−1−nxn−1ln x.0.5
1. e)Montrer que fn est strictement croissante sur [0 ; 1] et strictement décroissante sur [1,+∞[.0.5
2. a)Montrer que pour tout entier n≥2, on a : ∀x∈[0,+∞[ ; fn+1(x)≤fn(x).0.5
2. b)En déduire la position relative des deux courbes (Cn) et (Cn+1).0.25
3. a)Montrer que pour tout n≥2, il existe un unique réel αn∈]1 ; 2[ tel que fn(αn)=0. (On prendra ln 2=0,7.)0.5
3. b)Vérifier que (∀n≥2), αn+1 nlnαn+1=1.0.25
3. c)En déduire que pour tout n≥2, fn(αn+1)=αn+1−1.0.25
3. d)Montrer que la suite (αn)n≥2 ainsi définie est strictement décroissante.0.5
3. e)En déduire que la suite (αn)n≥2 est convergente.0.25
4. a)On pose ℓ=limn→+∞αn. Montrer que : 1≤ℓ≤2.0.25
4. b)Montrer que pour tout n≥2, n−1=−ln(ln(αn))ln(αn).0.5
4. c)On suppose que ℓ>1. Calculer limn→+∞ln(ln(αn))ln(αn) en fonction de ℓ.0.25
4. d)En déduire la valeur de la limite ℓ.0.5
Exercice 2 — Analyse
3.5 pt(s)1. a)Calculer l'intégrale ∫0111+x2 dx.0.25
1. b)Pour tout entier n≥1, on pose un=k=n∑k=1nn2+k2. Montrer que la suite (un)n≥1 est convergente puis déterminer sa limite.0.5
2.Montrer que : ∫011(1+x2)2 dx≤1.0.25
3. a)Montrer que : (∀x∈[0,1]) ; 0≤ex−1≤e·x.0.5
3. b)En déduire que : (∀x∈[0,1]) ; 0≤ex−1−x≤e2x2.0.25
4. a)Pour tout entier n≥1, on pose wn=k=n∑k=1(enn2+k2−1). Montrer que pour tout entier n≥1, on a : 0≤wn−un≤e2k=n∑k=1(nn2+k2)2.0.25
4. b)Montrer que la fonction x↦(1+x2)−2 est strictement décroissante sur [0,1].0.25
4. c)En déduire que pour tout entier n≥1 et pour tout entier k∈{1,2,…,n}, on a : 1n(1+(kn)2)−2≤∫k−1nkn(1+x2)−2 dx.0.25
5. a)Montrer que pour tout entier n≥1, on a : 0≤wn−un≤e2n.0.5
5. b)En déduire que la suite (wn)n≥1 est convergente et déterminer sa limite.0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)Soit m∈ℂ*.
Partie I
On considère dans ℂ l'équation d'inconnue z : (E) : z2−(2+i)mz+m2(1+i)=0.
1. a)Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est Δ=(im)2.0.25
1. b)Résoudre dans ℂ l'équation (E).0.5
2.Soient z1 et z2 les deux solutions de (E). Mettre sous la forme exponentielle z1z2 dans le cas où m=reiθ (r∈ℝ+*, θ∈ℝ).0.5
1.Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,e1,e2). On pose z1=m et z2=m(1+i). Soit M1 le point d'affixe z1, M2 le point d'affixe z2, M3(z3) l'image du point O par la rotation de centre M2 et d'angle (−π2), et M4(z4) l'image du point M1 par l'homothétie de centre O et de rapport k (k∈ℝ*−{1}). Calculer z3 en fonction de m et z4 en fonction de m et k.0.75
2.Donner la forme algébrique de z4−z2z4−z1×z3−z1z3−z2.0.75
3.En déduire que les points M1, M2, M3 et M4 sont cocycliques si et seulement si k=−2.0.75
Exercice 4 — Structures algébriques
3.5 pt(s)On munit l'ensemble ℂ des nombres complexes de la loi de composition interne * définie par : ∀(x,x′,y,y′)∈ℝ4 ; (x+iy)*(x′+iy′)=(xy′+y5x′)+iyy′.
1. a)Vérifier que : 1*2i=2.0.25
1. b)Montrer que la loi de composition interne * n'est pas commutative.0.25
2.Montrer que la loi * est associative.0.5
3. a)Vérifier que : 1*(1+2i)=2.0.25
3. b)En déduire que (ℂ,*) n'est pas un groupe.0.25
4. a)Soit E le sous-ensemble de ℂ défini par E={x+yi / x∈ℝ et y∈ℝ*}. Montrer que E est stable dans (ℂ,*).0.25
4. b)Montrer que (E,*) est un groupe non commutatif.0.5
1.On considère les sous-ensembles de E définis par F={yi / y∈ℝ*} et G={x+i / x∈ℝ}. Montrer que F est un sous-groupe de (E,*).0.5
2. a)On considère l'application φ définie de ℝ vers ℂ par : (∀x∈ℝ) ; φ(x)=x+i. Montrer que : φ(ℝ)=G.0.25
2. b)Montrer que φ est un homomorphisme de (ℝ,+) vers (ℂ,*).0.25
2. c)En déduire que (G,*) est un groupe commutatif.0.25
Exercice 5 — Arithmétique
3 pt(s)1.En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer l'entier u∈{1,2,…,22} tel que 10u≡1 [23].0.5
2. a)Soient m un entier naturel et q et r, respectivement, le quotient et le reste de la division euclidienne de m par 10. Montrer que : m≡10(q+ur) [23].0.5
2. b)Montrer que : 23 divise m ⟺ 23 divise (q+ur).0.75
3. a)On considère dans ℕ le système (S) : x≡1 [23]x≡2 [10]. Montrer que si x est une solution du système (S) alors il existe q∈ℕ tel que x=10q+2 et 23 divise (q+7).0.75
3. b)Résoudre dans ℕ le système (S).0.5
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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