fhamtha.ma › المواضيع › National 2024 · SM · session rattrapage
موضوع وطني
National 2024 · SM · session rattrapage
Exercice 1 — التحليل
6.5 pt(s)ليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر من أو يساوي 2. نعتبر الدالة fn المعرفة على [0,+∞[ بما يلي: fn(0)=0 و ∀x∈]0,+∞[ ; fn(x)=x−xnln x. وليكن (Cn) منحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم.
1. a)بين أن fn متصلة على اليمين في 00.25
1. b)بين أن: limx→+∞fn(x)=−∞ و أن: limx→+∞fn(x)x=−∞ ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.75
1. c)بين أن fn قابلة للاشتقاق على اليمين في 0 و أن عددها المشتق على اليمين في 0 يساوي 10.5
1. d)بين أن fn قابلة للاشتقاق على ]0,+∞[ و أن: ∀x∈]0,+∞[ ; fn′(x)=1−xn−1−nxn−1ln x0.5
1. e)بين أن fn تزايدية قطعا على [0 ; 1] و تناقصية قطعا على [1,+∞[0.5
2. a)بين أن لكل n≥2 ، لدينا : ∀x∈[0,+∞[ ; fn+1(x)≤fn(x)0.5
2. b)استنتج الوضع النسبي للمنحنيين (Cn) و (Cn+1)0.25
3. a)بين أن لكل n≥2 ، يوجد عدد حقيقي وحيد αn∈]1 ; 2[ بحيث: fn(αn)=0 (نأخذ ln 2=0,7)0.5
3. b)تحقق أن: (∀n≥2) αn+1 nlnαn+1=10.25
3. c)استنتج أن: (∀n≥2) fn(αn+1)=αn+1−10.25
3. d)بين أن المتتالية (αn)n≥2 التي تم تعريفها، تناقصية قطعا.0.5
3. e)استنتج أن المتتالية (αn)n≥2 متقاربة.0.25
4. a)نضع ℓ=limn→+∞αn. بين أن: 1≤ℓ≤20.25
4. b)بين أن لكل n≥2 ، n−1=−ln(ln(αn))ln(αn)0.5
4. c)نفترض أن ℓ>1 ، احسب limn→+∞ln(ln(αn))ln(αn) بدلالة ℓ0.25
4. d)استنتج قيمة النهاية ℓ0.5
Exercice 2 — التحليل
3.5 pt(s)1. a)احسب التكامل: ∫0111+x2 dx0.25
1. b)لكل عدد صحيح n≥1 ، نضع: un=k=n∑k=1nn2+k2. بين أن المتتالية (un)n≥1 متقاربة ثم حدد نهايتها.0.5
2.بين أن: ∫011(1+x2)2 dx≤10.25
3. a)بين أن: (∀x∈[0,1]) ; 0≤ex−1≤e·x0.5
3. b)استنتج أن: (∀x∈[0,1]) ; 0≤ex−1−x≤e2x20.25
4. a)لكل عدد صحيح n≥1 ، نضع: wn=k=n∑k=1(enn2+k2−1). بين أن لكل عدد صحيح n≥1 ، لدينا : 0≤wn−un≤e2k=n∑k=1(nn2+k2)20.25
4. b)بين أن الدالة : x↦(1+x2)−2 تناقصية قطعا على المجال [0,1]0.25
4. c)استنتج أن لكل عدد صحيح n≥1 و لكل عدد صحيح k∈{1,2,…,n} ، لدينا: 1n(1+(kn)2)−2≤∫k−1nkn(1+x2)−2 dx0.25
5. a)بين أن لكل عدد صحيح n≥1 ، لدينا : 0≤wn−un≤e2n0.5
5. b)استنتج أن المتتالية (wn)n≥1 متقاربة وحدد نهايتها.0.5
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)ليكن m∈ℂ*
Partie I
الجزء I: نعتبر في المجموعة ℂ المعادلة ذات المجهول z : (E) : z2−(2+i)mz+m2(1+i)=0
1. a)تحقق أن مميز المعادلة (E) هو Δ=(im)20.25
1. b)حل في ℂ المعادلة (E)0.5
2.ليكن z1 و z2 حلي المعادلة (E). اكتب z1z2 على الشكل الأسي في الحالة حيث m=reiθ (r∈ℝ+* ، θ∈ℝ)0.5
1.المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,e1,e2). نضع z1=m و z2=m(1+i). لتكن M1 النقطة ذات اللحق z1 و M2 النقطة ذات اللحق z2 و M3(z3) صورة النقطة O بالدوران الذي مركزه M2 و زاويته (−π2) و M4(z4) صورة النقطة M1 بالتحاكي الذي مركزه O و نسبته k (k∈ℝ*−{1}). احسب z3 بدلالة m و z4 بدلالة m و k0.75
2.اكتب على الشكل الجبري العدد z4−z2z4−z1×z3−z1z3−z20.75
3.استنتج أن النقط M1 و M2 و M3 و M4 متداورة إذا وفقط إذا كان k=−20.75
Exercice 4 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)نزود مجموعة الأعداد العقدية ℂ بقانون التركيب الداخلي * المعرف بما يلي: ∀(x,x′,y,y′)∈ℝ4 ; (x+iy)*(x′+iy′)=(xy′+y5x′)+iyy′
1. a)تحقق أن: 1*2i=20.25
1. b)بين أن القانون التركيب الداخلي * ليس تبادليا.0.25
2.بين أن القانون * تجميعي.0.5
3. a)تحقق أن: 1*(1+2i)=20.25
3. b)استنتج أن (ℂ,*) ليس زمرة.0.25
4. a)لتكن E المجموعة الجزئية من ℂ المعرفة بما يلي: E={x+yi / (x,y)∈ℝ×ℝ*}. بين أن المجموعة E مستقرة في (ℂ,*)0.25
4. b)بين أن (E,*) زمرة غير تبادلية.0.5
1.نعتبر المجموعات الجزئية من المجموعة E المعرفة بما يلي: F={yi / y∈ℝ*} و G={x+i / x∈ℝ}. بين أن F زمرة جزئية من (E,*)0.5
2. a)نعتبر التطبيق φ المعرف من ℝ نحو ℂ بما يلي: ∀x∈ℝ , φ(x)=x+i. بين أن: φ(ℝ)=G0.25
2. b)بين أن φ تشاكل من (ℝ,+) نحو (ℂ,*)0.25
2. c)استنتج أن (G,*) زمرة تبادلية.0.25
Exercice 5 — الحسابيات
3 pt(s)1.باستعمال خوارزمية اقليدس، حدد العدد الصحيح u∈{1,2,…,22} بحيث: 10u≡1 [23]0.5
2. a)ليكن m عددا صحيحا طبيعيا و q و r ، على التوالي، خارج وباقي القسمة الإقليدية للعدد m على 10. بين أن: m≡10(q+ur) [23]0.5
2. b)بين أن: 23 يقسم m ⟺ 23 يقسم (q+ur)0.75
3. a)نعتبر في ℕ النظمة (S) : x≡1 [23]x≡2 [10]. بين أنه إذا كان x حلا للنظمة (S) فإنه يوجد q∈ℕ بحيث x=10q+2 و 23 يقسم (q+7)0.75
3. b)حل في ℕ النظمة (S)0.5
التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.
شاهد التصحيح