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Sujet national

National 2024 · SM · session normale

NS 24F · 4 heures · Mathématiques · SM

Exercice 1 — Analyse

7.5 pt(s)

Soit f la fonction numérique définie sur l'intervalle [1,+∞[ par f(1)=12 et pour tout x∈]1,+∞[, f(x)=ln(x)x²−1. Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O,i,j).

1.Montrer que f est continue à droite en 1.0.5

2.Calculer lim_x→+∞f(x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5

3. a)Soit x∈]1,+∞[. En posant t=(x−1)², vérifier que 1−x+ln(x)(x−1)²=−√t+ln(1+√t)t.0.25

3. b)Montrer que (∀t∈]0,+∞[), −12<−√t+ln(1+√t)t<−12(1+√t). (On pourra utiliser le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [0 ; t].)0.5

3. c)En déduire que : lim_x→1⁺1−x+ln(x)(x−1)²=−12.0.25

4. a)Montrer que : ∀x∈]1,+∞[, f(x)−12x−1=−ln(x)x−1×12(x+1)+ln(x)−x+12(x−1)².0.5

4. b)En déduire que f est dérivable à droite en 1 puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5

5. a)Pour tout x∈[1,+∞[ on pose I(x)=∫₁^xt²−1t³ dt et J(x)=∫₁^xt²−1t² dt. Montrer que : ∀x∈[1,+∞[, 0≤I(x)≤J(x).0.5

5. b)Montrer que pour tout x∈[1,+∞[, I(x)=ln(x)−x²−12x² et J(x)=(x−1)²x.0.5

5. c)Montrer que : ∀x∈]1,+∞[, f′⁠(x)=−2(x+1)²×I(x)J(x).0.5

5. d)En déduire que : ∀x∈]1,+∞[, −12≤f′⁠(x)≤0.0.5

6. a)Dresser le tableau de variations de la fonction f.0.25

6. b)Tracer la courbe (C). (On prendra ‖i‖=1 cm et ‖j‖=2 cm.)0.5

7.Montrer que l'équation f(x)=x−1 admet une unique solution a dans ]1,2[.0.5

8. a)Soit (a_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par a₀∈[1,+∞[ et, pour tout n∈ℕ, a_n+1=1+f(a_n). Montrer que : (∀n∈ℕ), |a_n+1−a|≤12|a_n−a|.0.5

8. b)Montrer par récurrence que : (∀n∈ℕ), |a_n−a|≤(12)ⁿ|a₀−a|.0.5

8. c)En déduire que la suite (a_n)_n∈ℕ est convergente.0.25

Exercice 2 — Analyse

2.5 pt(s)

Soit F la fonction numérique définie sur l'intervalle [0 ; 1] par F(x)=∫₀^xe^t² dt.

1. a)Montrer que F est continue, strictement croissante sur [0 ; 1].0.5

1. b)En déduire que F est une bijection de [0 ; 1] vers [0 ; β] avec β=∫₀¹e^t² dt.0.5

2. a)On note F⁻¹ la bijection réciproque de F. Pour tout n∈ℕ^*, on pose S_n=1n^k=n∑_k=1F⁻¹(knβ). Montrer que la suite (S_n)_n∈ℕ^* est convergente de limite ℓ=1β∫₀^βF⁻¹(t) dt.0.5

2. b)Montrer que ℓ=1β∫₀¹u e^u² du. (On pourra effectuer le changement de variable u=F⁻¹(t).)0.5

2. c)En déduire que : ℓ=e−12β.0.5

Exercice 3 — Nombres complexes

3.5 pt(s)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v). On considère dans ℂ l'équation d'inconnue z : (E_α) : z²−2iz+α=0, où α∈ℂ.

Partie II

Soient Ω, M₁ et M₂ les points d'affixes respectivement α, z₁ et z₂.

1. a)Montrer que le discriminant de l'équation (E_α) est Δ=−4(1+α).0.25

1. b)Déterminer l'ensemble des valeurs α pour lesquelles l'équation (E_α) admette dans l'ensemble ℂ deux solutions distinctes.0.25

2.On note z₁ et z₂ les deux solutions de l'équation (E_α). Déterminer z₁+z₂ et z₁z₂.0.5

1. a)On suppose que α=m²−2m avec m∈ℝ. Déterminer z₁ et z₂ en fonction de m.0.5

1. b)En déduire que les points O, M₁ et M₂ sont alignés.0.25

2. a)On suppose que les points O, M₁ et M₂ ne sont pas alignés. Montrer que z₁z₂ est un imaginaire pur si et seulement si Re(z₁z₂)=0.0.25

2. b)Montrer que : |z₁−z₂|²=|z₁+z₂|²−4 Re(z₁z₂).0.5

2. c)En déduire que z₁z₂ est un imaginaire pur si et seulement si |z₁−z₂|=2.0.25

3. a)Montrer que : (z₁−z₂)²=Δ.0.25

3. b)Déterminer l'ensemble Γ des points Ω pour que le triangle OM₁M₂ soit rectangle en O.0.5

Exercice 4 — Structures algébriques

3.5 pt(s)

On considère dans ℂ×ℂ^* la loi de composition interne T définie par : ∀((a,b),(c,d))∈(ℂ×ℂ^*)² ; (a,b) T (c,d)=(ad+c, bd), où d est le conjugué du nombre complexe d.

1. a)Vérifier que (i,2) T (1,i)=(2,2i), puis calculer (1,i) T (i,2).0.5

1. b)En déduire que la loi T n'est pas commutative dans ℂ×ℂ^*.0.25

2.Montrer que la loi T est associative dans ℂ×ℂ^*.0.5

3.Vérifier que (0,1) est l'élément neutre pour T dans ℂ×ℂ^*.0.25

4. a)Vérifier que ∀(a,b)∈ℂ×ℂ^* ; (a,b) T (−ab,1b)=(0,1).0.5

4. b)Montrer que (ℂ×ℂ^*,T) est un groupe non commutatif.0.5

5. a)Montrer que ℝ×ℝ^* est stable par la loi de composition interne T.0.5

5. b)Montrer que ℝ×ℝ^* est un sous-groupe du groupe (ℂ×ℂ^*,T).0.5

Exercice 5 — Arithmétique

3 pt(s)

Soient p et q deux nombres premiers distincts et r un entier naturel premier avec p et avec q.

1. a)Montrer que p divise r^p−1−1 et que q divise r^q−1−1.1

1. b)En déduire que p et q divisent r^{(p−1)(q−1)}−1.0.5

1. c)Montrer que pq divise r^{(p−1)(q−1)}−1.0.5

2.Résoudre dans ℤ l'équation 2024¹⁹² x≡3 [221]. (On donne : 221=13×17.)1

Le corrigé entier, question par question, avec le barème.

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