fhamtha.ma › المواضيع › National 2024 · SM · session normale

موضوع وطني

National 2024 · SM · session normale

NS 24F · 4 heures · Mathématiques · SM

Exercice 1 — التحليل

7.5 pt(s)

لتكن f الدالة العددية المعرفة على المجال [1,+∞[ بما يلي: f(1)=12 و لكل x∈]1,+∞[ ، f(x)=ln(x)x²−1. و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد (O,i,j)

1.بين أن f متصلة على اليمين في 10.5

2.احسب lim_x→+∞f(x) ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5

3. a)ليكن x∈]1,+∞[. بوضع: t=(x−1)² ، تحقق أن: 1−x+ln(x)(x−1)²=−√t+ln(1+√t)t0.25

3. b)بين أن: (∀t∈]0,+∞[) , −12<−√t+ln(1+√t)t<−12(1+√t) (يمكن استعمال مبرهنة التزايدات المنتهية على المجال [0 ; t])0.5

3. c)استنتج أن: lim_x→1⁺1−x+ln(x)(x−1)²=−120.25

4. a)تحقق أن لكل x∈]1,+∞[ : f(x)−12x−1=−ln(x)x−1×12(x+1)+ln(x)−x+12(x−1)²0.5

4. b)استنتج أن f قابلة للاشتقاق على اليمين في 1 ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5

5. a)لكل x∈[1,+∞[ نضع I(x)=∫₁^xt²−1t³ dt و J(x)=∫₁^xt²−1t² dt. بين أن: ∀x∈[1,+∞[, 0≤I(x)≤J(x)0.5

5. b)بين أن لكل x∈[1,+∞[ ، I(x)=ln(x)−x²−12x² و J(x)=(x−1)²x0.5

5. c)تحقق أن: ∀x∈]1,+∞[, f′⁠(x)=−2(x+1)²×I(x)J(x)0.5

5. d)استنتج أن: ∀x∈]1,+∞[, −12≤f′⁠(x)≤00.5

6. a)ضع جدول تغيرات الدالة f0.25

6. b)أنشئ المنحنى (C) (نأخذ ‖i‖=1 cm و ‖j‖=2 cm)0.5

7.بين أن المعادلة f(x)=x−1 تقبل حلا وحيدا a في المجال ]1,2[0.5

8. a)لتكن (a_n)_n∈ℕ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: a₀∈[1,+∞[ و لكل n∈ℕ ، a_n+1=1+f(a_n). بين أن: (∀n∈ℕ), |a_n+1−a|≤12|a_n−a|0.5

8. b)بين بالترجع أن: (∀n∈ℕ), |a_n−a|≤(12)ⁿ|a₀−a|0.5

8. c)استنتج أن المتتالية (a_n)_n∈ℕ متقاربة.0.25

Exercice 2 — التحليل

2.5 pt(s)

لتكن F الدالة العددية المعرفة على المجال [0 ; 1] بما يلي: F(x)=∫₀^xe^t² dt

1. a)بين أن F متصلة و تزايدية قطعا على المجال [0 ; 1]0.5

1. b)استنتج أن F تقابل من المجال [0 ; 1] نحو المجال [0 ; β] حيث β=∫₀¹e^t² dt0.5

2. a)ليكن F⁻¹ التقابل العكسي للدالة F. لكل n∈ℕ^* ، نضع: S_n=1n^k=n∑_k=1F⁻¹(knβ). بين أن المتتالية (S_n)_n∈ℕ^* متقاربة نهايتها ℓ=1β∫₀^βF⁻¹(t) dt0.5

2. b)بين أن ℓ=1β∫₀¹u e^u² du (يمكنك استعمال طريقة تغيير المتغير بوضع u=F⁻¹(t))0.5

2. c)استنتج أن: ℓ=e−12β0.5

Exercice 3 — الأعداد العقدية

3.5 pt(s)

المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v). نعتبر في ℂ المعادلة ذات المجهول z : (E_α) : z²−2iz+α=0 حيث α∈ℂ

Partie II

لتكن Ω و M₁ و M₂ النقط ذات الألحاق على التوالي α و z₁ و z₂

1. a)بين أن مميز المعادلة (E_α) هو Δ=−4(1+α)0.25

1. b)حدد مجموعة قيم α التي من أجلها تقبل المعادلة (E_α) حلين مختلفين في المجموعة ℂ0.25

2.ليكن z₁ و z₂ حلي المعادلة (E_α). حدد z₁+z₂ و z₁z₂0.5

1. a)نفترض أن α=m²−2m حيث m∈ℝ. حدد z₁ و z₂ بدلالة m0.5

1. b)استنتج أن النقط O و M₁ و M₂ مستقيمية.0.25

2. a)نفترض أن النقط O و M₁ و M₂ غير مستقيمية. بين أن z₁z₂ تخيلي صرف إذا وفقط إذا كان Re(z₁z₂)=00.25

2. b)بين أن: |z₁−z₂|²=|z₁+z₂|²−4 Re(z₁z₂)0.5

2. c)استنتج أن z₁z₂ تخيلي صرف إذا وفقط إذا كان |z₁−z₂|=20.25

3. a)بين أن: (z₁−z₂)²=Δ0.25

3. b)حدد المجموعة Γ للنقط Ω بحيث يكون المثلث OM₁M₂ قائم الزاوية في O0.5

Exercice 4 — البنيات الجبرية

3.5 pt(s)

نعتبر في المجموعة ℂ×ℂ^* قانون التركيب الداخلي T المعرف بما يلي: ∀((a,b),(c,d))∈(ℂ×ℂ^*)² ; (a,b) T (c,d)=(ad+c, bd) (d هو مرافق العدد العقدي d)

1. a)تحقق أن (i,2) T (1,i)=(2,2i) ، ثم احسب (1,i) T (i,2)0.5

1. b)استنتج أن القانون T غير تبادلي في ℂ×ℂ^*0.25

2.بين أن القانون T تجميعي في ℂ×ℂ^*0.5

3.تحقق أن (0,1) هو العنصر المحايد للقانون T في ℂ×ℂ^*0.25

4. a)تحقق أن ∀(a,b)∈ℂ×ℂ^* ; (a,b) T (−ab,1b)=(0,1)0.5

4. b)بين أن (ℂ×ℂ^*,T) زمرة غير تبادلية.0.5

5. a)بين أن ℝ×ℝ^* مستقر بالنسبة لقانون التركيب الداخلي T0.5

5. b)بين أن ℝ×ℝ^* زمرة جزئية للزمرة (ℂ×ℂ^*,T)0.5

Exercice 5 — الحسابيات

3 pt(s)

ليكن p و q عددين أوليين مختلفين و r عددا صحيحا طبيعيا أوليا مع p و مع q

1. a)بين أن p يقسم r^p−1−1 و أن q يقسم r^q−1−11

1. b)استنتج أن p و q يقسمان r^{(p−1)(q−1)}−10.5

1. c)بين أن pq يقسم r^{(p−1)(q−1)}−10.5

2.حل في ℤ المعادلة 2024¹⁹² x≡3 [221] (نعطي: 221=13×17)1

التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.

شاهد التصحيح