fhamtha.ma › Annales › National 2023 · SM · session rattrapage
Sujet national
National 2023 · SM · session rattrapage
Exercice 1 — Analyse
10 pt(s)Pour tout entier naturel non nul n, on considère la fonction fn définie sur I=[0,+∞[ par : fn(0)=0 et (∀x∈]0,+∞[) ; fn(x)=√x (ln x)n, et soit (Cn) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i,j).
Partie III
On pose pour tout x∈I : F(x)=∫x1(f1(t))2 dt.
1. a)Vérifier que : (∀x∈]0,+∞[) ; √x (ln x)n=(2n)n(x12nln(x12n))n, en déduire que fn est continue à droite en 0.0.5
1. b)Calculer limx→+∞fn(x).0.25
1. c)Vérifier que : (∀x∈]0,+∞[) ; fn(x)x=(2n)n(ln(x12n)x12n)n, en déduire limx→+∞fn(x)x puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.75
1. d)Calculer, suivant la parité de n, limx→0+fn(x)x puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
2. a)Montrer que fn est dérivable sur ]0 ; +∞[ et que : (∀x∈]0,+∞[) ; fn′(x)=12√x(ln x)n−1(2n+ln x).0.75
2. b)Vérifier que : ∀n≥2, fn′(x)=0 si et seulement si (x=1 ou x=e−2n).0.25
2. c)Étudier, suivant la parité de n, le sens de variation de fn et donner son tableau de variations.1
2. d)Montrer que si n est impair et n≥3 alors le point d'abscisse 1 est un point d'inflexion de (Cn).0.25
1. a)Soit β∈]1,e[ un réel fixé. On considère la suite numérique (un)n≥1 définie par : (∀n∈ℕ*) ; un=fn(β). Montrer que : (∀n∈ℕ*) ; 0<un<√e.0.25
1. b)Montrer que la suite (un)n≥1 est décroissante.0.25
1. c)Déterminer limn→+∞un.0.25
2. a)Montrer que pour tout entier n non nul, il existe un unique réel xn∈]1 ; e[ tel que : fn(xn)=1.0.5
2. b)Montrer que la suite (xn)n∈ℕ* ainsi définie est croissante, en déduire qu'elle est convergente.0.75
3. a)On pose : ℓ=limn→+∞xn. Montrer que : 1<ℓ≤e.0.5
3. b)Montrer que : limn→+∞(ln xn)n=1√ℓ.0.25
3. c)Montrer que si ℓ<e alors limn→+∞nln(ln xn)=−∞.0.25
3. d)En déduire la valeur de ℓ.0.25
1. a)Montrer que la fonction F est continue sur I.0.25
1. b)En utilisant une double intégration par parties, montrer que : (∀x∈]0,+∞[) ; F(x)=−x22ln2(x)+x22ln(x)+14(1−x2).1
2. a)Calculer limx→0 x>0F(x).0.5
2. b)En déduire la valeur de F(0).0.25
2. c)Calculer, en cm3, le volume du solide engendré par la rotation d'un tour complet autour de l'axe des abscisses de la portion de la courbe (C1) relative à l'intervalle [0,1]. (On prendra ‖i‖=1 cm.)0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment.
Partie I
On considère dans ℝ+2 le système suivant : (S):√x(1+1x+y)=125√y(1−1x+y)=45
Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u,v). Soit (U) le cercle de centre O et de rayon 1, et A(a), B(b) et C(c) trois points du cercle (U) deux à deux distincts.
1. a)Soit (x,y)∈ℝ+2 une solution du système (S). On pose : z=√x+i√y. Montrer que : z+1z=125+45i.0.25
1. b)Montrer que : z2−(125+45i)z+1=0, en déduire les valeurs possibles de z. (On remarque que : 2825+9625i=(25(4+3i))2.)0.75
1. c)En déduire les valeurs du couple (x,y).0.25
2.Résoudre dans ℝ+2 le système (S).0.5
1.Montrer que : (∀z∈ℂ) ; |z|=1⟺z=1z.0.25
2. a)La droite passant par A et parallèle à (BC) coupe le cercle (U) au point P(p). Montrer que : p=bca.0.5
2. b)La droite passant par A et perpendiculaire à (BC) coupe le cercle (U) au point Q(q). Montrer que : q=−p.0.5
2. c)La droite passant par C et parallèle à (AB) coupe le cercle (U) au point R(r). Montrer que les deux droites (PR) et (OB) sont perpendiculaires.0.5
Exercice 3 — Structures algébriques
3.5 pt(s)On rappelle que (M3(ℝ),+,×) est un anneau unitaire et non commutatif d'unité I=100010001. Soit E={M(a,b,c)=a000b−c0cb / (a,b,c)∈ℝ3}.
1.Montrer que E est un sous-groupe de (M3(ℝ),+).0.25
2. a)On munit l'ensemble ℝ×ℂ de la loi de composition interne * définie par : ∀((x,z),(x′,z′))∈(ℝ×ℂ)2 ; (x,z)*(x′,z′)=(x+x′, z+z′), et on considère l'application φ définie de E vers ℝ×ℂ par : ∀(a,b,c)∈ℝ3, φ(M(a,b,c))=(a, b+ci). Montrer que φ est un homomorphisme de (E,+) vers (ℝ×ℂ,*) et que φ(E)=ℝ×ℂ.0.5
2. b)En déduire que (ℝ×ℂ,*) est un groupe commutatif.0.25
3. a)On munit ℝ×ℂ de la loi de composition interne T définie par : ∀((x,z),(x′,z′))∈(ℝ×ℂ)2 ; (x,z) T (x′,z′)=(x Re(z′)+x′ Re(z), zz′) (Re(z) désigne la partie réelle du nombre complexe z). Montrer que T est commutative.0.25
3. b)Vérifier que (0,1) est l'élément neutre de T dans ℝ×ℂ.0.25
3. c)Vérifier que ∀x∈ℝ, (1,i) T (x,−i)=(0,1) ; en déduire que T est non associative dans ℝ×ℂ.0.5
4. a)Soit G={(Im(z),z) / z∈ℂ} (Im(z) désigne la partie imaginaire du nombre complexe z). Montrer que G est un sous-groupe de (ℝ×ℂ,*). (On remarque que (−Im(z),−z) est le symétrique de (Im(z),z) pour la loi *.)0.25
4. b)Soit ψ l'application définie de ℂ* vers ℝ×ℂ par : ∀z∈ℂ* ; ψ(z)=(Im(z),z). Montrer que ψ est un homomorphisme de (ℂ*,×) vers (ℝ×ℂ,T).0.25
4. c)En déduire que (G−{(0,0)},T) est un groupe commutatif.0.5
5.Montrer que (G,*,T) est un corps commutatif.0.5
Exercice 4 — Arithmétique
3 pt(s)Soit p un nombre premier impair. On pose : S=1+p+p2+p3+…+pp−1. Soit q un nombre premier qui divise S.
1. a)Montrer que p et q sont premiers entre eux.0.5
1. b)En déduire que : pq−1≡1 [q].0.25
1. c)Vérifier que : pp−1=(p−1)S, en déduire que : pp≡1 [q].0.5
2. a)On suppose que p et q−1 sont premiers entre eux. En utilisant le théorème de Bézout, montrer que : p≡1 [q].0.75
2. b)En déduire que S≡1 [q].0.25
3.Montrer que : q≡1 [p].0.75
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
Voir le corrigé