fhamtha.ma › المواضيع › National 2023 · SM · session rattrapage
موضوع وطني
National 2023 · SM · session rattrapage
Exercice 1 — التحليل
10 pt(s)لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n ، نعتبر الدالة fn المعرفة على I=[0,+∞[ بما يلي: fn(0)=0 و (∀x∈]0,+∞[) ; fn(x)=√x (ln x)n ، وليكن (Cn) منحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم (O ; i,j).
Partie III
نضع لكل x∈I ، F(x)=∫x1(f1(t))2 dt.
1. a)تحقق أن: (∀x∈]0,+∞[) ; √x (ln x)n=(2n)n(x12nln(x12n))n ، استنتج أن fn متصلة على اليمين في 00.5
1. b)احسب limx→+∞fn(x)0.25
1. c)تحقق أن: (∀x∈]0,+∞[) ; fn(x)x=(2n)n(ln(x12n)x12n)n ، استنتج limx→+∞fn(x)x ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.75
1. d)احسب، حسب زوجية n ، limx→0+fn(x)x ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5
2. a)بين أن fn قابلة للاشتقاق على ]0 ; +∞[ و أن : (∀x∈]0,+∞[) ; fn′(x)=12√x(ln x)n−1(2n+ln x)0.75
2. b)تحقق أن لكل n≥2 : fn′(x)=0 تكافئ (x=1 أو x=e−2n)0.25
2. c)ادرس، حسب زوجية n ، منحى تغيرات fn و اعط جدول تغيراتها.1
2. d)بين أنه إذا كان n فرديا و n≥3 فإن النقطة ذات الأفصول 1 هي نقطة انعطاف (Cn)0.25
1. a)ليكن β∈]1,e[ عددا حقيقيا ثابتا. نعتبر المتتالية العددية (un)n≥1 المعرفة بما يلي: (∀n∈ℕ*) ; un=fn(β). بين أن: (∀n∈ℕ*) ; 0<un<√e0.25
1. b)بين أن المتتالية (un)n≥1 تناقصية.0.25
1. c)حدد limn→+∞un0.25
2. a)بين أنه لكل عدد صحيح n غير منعدم، يوجد عدد حقيقي وحيد xn∈]1 ; e[ بحيث: fn(xn)=10.5
2. b)بين أن المتتالية المعرفة (xn)n∈ℕ* تزايدية، استنتج أنها متقاربة.0.75
3. a)نضع: ℓ=limn→+∞xn. بين أن: 1<ℓ≤e0.5
3. b)بين أن: limn→+∞(ln xn)n=1√ℓ0.25
3. c)بين أنه إذا كان ℓ<e فإن limn→+∞nln(ln xn)=−∞0.25
3. d)استنتج قيمة ℓ0.25
1. a)بين أن الدالة F متصلة على I0.25
1. b)باستعمال مكاملة بالأجزاء مرتين، بين أن: (∀x∈]0,+∞[) ; F(x)=−x22ln2(x)+x22ln(x)+14(1−x2)1
2. a)احسب limx→0 x>0F(x)0.5
2. b)استنتج قيمة F(0)0.25
2. c)احسب، ب cm3 ، حجم المجسم المولد بدوران جزء المنحنى (C1) الموافق للمجال [0,1] دورة كاملة حول محور الأفاصيل. (نأخذ ‖i‖=1 cm)0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)يمكن أن ينجز الجزءان I و II بشكل مستقل.
Partie I
نعتبر في ℝ+2 النظمة التالية: (S):√x(1+1x+y)=125√y(1−1x+y)=45
Partie II
المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O ; u,v). لتكن (U) الدائرة التي مركزها O و شعاعها 1 و A(a) و B(b) و C(c) ثلاث نقط مختلفة مثنى مثنى من (U)
1. a)ليكن (x,y)∈ℝ+2 حلا للنظمة (S). نضع: z=√x+i√y. بين أن: z+1z=125+45i0.25
1. b)بين أن: z2−(125+45i)z+1=0 ، استنتج القيم الممكنة للعدد z (نلاحظ أن: 2825+9625i=(25(4+3i))2)0.75
1. c)استنتج قيم الزوج (x,y)0.25
2.حل في ℝ+2 النظمة (S)0.5
1.بين أن: (∀z∈ℂ) ; |z|=1⟺z=1z0.25
2. a)المستقيم المار من A و الموازي للمستقيم (BC) يقطع الدائرة (U) في النقطة P(p). بين أن: p=bca0.5
2. b)المستقيم المار من A و العمودي على المستقيم (BC) يقطع الدائرة (U) في النقطة Q(q). بين أن: q=−p0.5
2. c)المستقيم المار من C و الموازي للمستقيم (AB) يقطع الدائرة (U) في النقطة R(r). بين أن المستقيمين (PR) و (OB) متعامدان.0.5
Exercice 3 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)نذكر أن (M3(ℝ),+,×) حلقة واحدية و غير تبادلية وحدتها I=100010001. ليكن E={M(a,b,c)=a000b−c0cb / (a,b,c)∈ℝ3}.
1.بين أن E زمرة جزئية للزمرة (M3(ℝ),+)0.25
2. a)نزود المجموعة ℝ×ℂ بقانون التركيب الداخلي * المعرف بما يلي: ∀((x,z),(x′,z′))∈(ℝ×ℂ)2 ; (x,z)*(x′,z′)=(x+x′, z+z′) و نعتبر التطبيق φ المعرف من E نحو ℝ×ℂ بما يلي: ∀(a,b,c)∈ℝ3 , φ(M(a,b,c))=(a, b+ci). بين أن φ تشاكل من (E,+) نحو (ℝ×ℂ,*) و أن φ(E)=ℝ×ℂ0.5
2. b)استنتج أن (ℝ×ℂ,*) زمرة تبادلية.0.25
3. a)نزود ℝ×ℂ بقانون التركيب الداخلي T المعرف بما يلي: ∀((x,z),(x′,z′))∈(ℝ×ℂ)2 ; (x,z) T (x′,z′)=(x Re(z′)+x′ Re(z), zz′) (Re(z) هو الجزء الحقيقي للعدد العقدي z). بين أن T تبادلي.0.25
3. b)تحقق أن (0,1) هو العنصر المحايد للقانون T في ℝ×ℂ0.25
3. c)تحقق أن ∀x∈ℝ , (1,i) T (x,−i)=(0,1) ؛ استنتج أن T غير تجميعي في ℝ×ℂ0.5
4. a)ليكن G={(Im(z),z) / z∈ℂ} (Im(z) هو الجزء التخيلي للعدد العقدي z). بين أن G زمرة جزئية للزمرة (ℝ×ℂ,*) (نلاحظ أن (−Im(z),−z) هو مماثل (Im(z),z) بالنسبة للقانون *)0.25
4. b)ليكن ψ التطبيق المعرف من ℂ* نحو ℝ×ℂ بما يلي: ∀z∈ℂ* ; ψ(z)=(Im(z),z). بين أن ψ تشاكل من (ℂ*,×) نحو (ℝ×ℂ,T)0.25
4. c)استنتج أن (G−{(0,0)},T) زمرة تبادلية.0.5
5.بين أن (G,*,T) جسم تبادلي.0.5
Exercice 4 — الحسابيات
3 pt(s)ليكن p عددا أوليا فرديا. نضع: S=1+p+p2+p3+…+pp−1. ليكن q عددا أوليا يقسم S
1. a)بين أن p و q أوليان فيما بينهما.0.5
1. b)استنتج أن: pq−1≡1 [q]0.25
1. c)تحقق أن: pp−1=(p−1)S ، استنتج أن: pp≡1 [q]0.5
2. a)نفترض أن p و q−1 أوليان فيما بينهما. باستعمال مبرهنة بوزوت (Bézout)، بين أن: p≡1 [q]0.75
2. b)استنتج أن S≡1 [q]0.25
3.بين أن: q≡1 [p]0.75
التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.
شاهد التصحيح