Sujet national
National 2023 · SM · session normale
NS 24F · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Analyse
7.75 pt(s)
Partie II
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0 ; +∞[ par f(0)=1 et (∀x∈]0 ; +∞[) ; f(x)=g(x)e−x, où g(x)=ln(1+x)x. On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i,j).
Partie III
On reprend la fonction f de la partie II, définie sur [0 ; +∞[ par :f(x)=ln(1+x)xe−xsi x>01si x=0.
1. a)Montrer que : ∀t∈[0 ; +∞[ ; 4(2+t)2≤11+t≤12(1+1(1+t)2).0.5
1. b)En déduire que : ∀x∈[0 ; +∞[ ; 2x2+x≤ln(1+x)≤12(x2+2x1+x).0.5
2.Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]0 ; +∞[ par g(x)=ln(1+x)x. Montrer que : limx→0 x>0g(x)−1x=−12.0.5
1.Calculer limx→+∞f(x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
2. a)Montrer que f est continue à droite en 0.0.25
2. b)Vérifier que : ∀x∈]0 ; +∞[ ; f(x)−1x=(e−x−1x)g(x)+(g(x)−1x).0.25
2. c)En déduire que f est dérivable à droite en 0 et déterminer f′d(0).0.5
3.Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ puis que : ∀x∈]0 ; +∞[ ; f′(x)=x−(1+x)2ln(1+x)x2(1+x) e−x.0.75
4. a)Montrer que : ∀x∈]0 ; +∞[ ; −32<x−(1+x)2ln(1+x)x2(1+x)<0.0.5
4. b)En déduire que : ∀x∈]0 ; +∞[ ; −32<f′(x)<0.0.25
5. a)Dresser le tableau de variations de f.0.25
5. b)Construire la courbe (C) en faisant apparaître la demi-tangente à droite au point d'abscisse 0. (On prendra ‖i‖=2 cm.)0.75
1.Montrer que l'équation d'inconnue x : f(x)=3x admet une unique solution α dans ]0 ; +∞[.0.5
2. a)Soient β∈ℝ+ et (un)n∈ℕ la suite numérique définie par u0=β et ∀n∈ℕ ; un+1=13f(un). Montrer que : ∀n∈ℕ ; un≥0.0.5
2. b)Montrer que : ∀n∈ℕ ; |un+1−α|≤12|un−α|.0.5
2. c)Montrer par récurrence que : ∀n∈ℕ ; |un−α|≤12n|β−α|.0.5
2. d)En déduire que la suite (un)n∈ℕ converge vers α.0.25
Exercice 2 — Analyse
2.25 pt(s)
On considère la fonction numérique x↦ex et soit (Γ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i,j). Pour tout n∈ℕ* et pour tout k∈{0 ; 1 ; … ; n}, on note Mk le point de la courbe (Γ) de coordonnées (kn ; ekn).
1. a)Montrer que : ∀k∈{0 ; 1 ; … ; (n−1)}, ∃ck∈]kn ; k+1n[ tel que ek+1n−ekn=1neck.0.5
1. b)Montrer que : ∀k∈{0 ; 1 ; … ; (n−1)} ; MkMk+1=1n√1+e2ck (MkMk+1 désigne la distance de Mk à Mk+1).0.25
1. c)En déduire que : ∀k∈{0 ; 1 ; … ; (n−1)} ; 1n√1+e2kn≤MkMk+1≤1n√1+e2(k+1)n.0.5
2. a)Soit (Sn)n∈ℕ* la suite numérique définie par : ∀n∈ℕ* ; Sn=n−1∑k=0MkMk+1. Vérifier que : ∀n∈ℕ* ; 1nn−1∑k=0√1+e2kn≤Sn≤1nn∑k=1√1+e2kn.0.5
2. b)En déduire que : limn→+∞Sn=∫01√1+e2x dx.0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
On considère le nombre complexe u=1+(2−√3)i.
1. a)Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes 1−i et 1+√3i.0.5
1. b)Montrer que : (1−i)(1+√3i)2√2=eiπ12.0.25
1. c)En déduire que : tan(π12)=2−√3.0.25
1. d)Montrer que : u=(√6−√2)eiπ12.0.5
2. a)On considère les deux suites numériques (xn)n∈ℕ et (yn)n∈ℕ définies par x0=1, y0=0 et (∀n∈ℕ) ; xn+1=xn−(2−√3)ynyn+1=(2−√3)xn+yn. Montrer par récurrence que pour tout n∈ℕ, xn+iyn=un.0.5
2. b)En déduire que pour tout n∈ℕ : xn=cos(nπ12)(cosπ12)n et yn=sin(nπ12)(cosπ12)n.0.5
3. a)Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; e1,e2). Pour tout entier naturel n, on note An le point d'affixe un. Déterminer les entiers n pour lesquels les points O, A0 et An sont alignés.0.5
3. b)Montrer que pour tout entier naturel n, le triangle OAnAn+1 est rectangle en An.0.5
Exercice 4 — Arithmétique
3 pt(s)
Soit p un nombre premier impair. On considère dans ℤ l'équation (E) : x2≡2 [p].
1. a)Montrer que : 2p−1≡1 [p].0.25
1. b)En déduire que : 2p−12≡1 [p] ou 2p−12≡−1 [p]. (On remarque que (2p−12−1)(2p−12+1)=2p−1−1.)0.25
2. a)Soit x une solution de l'équation (E). Montrer que p et x sont premiers entre eux.0.5
2. b)En déduire que : 2p−12≡1 [p]. (On pourra utiliser le théorème de Fermat.)0.5
3.Montrer que pour tout k∈{1,2,…,p−1}, p divise Cpk. (On rappelle que (∀k∈{1,2,…,p−1}) Cpk=p!k!(p−k)! et que kCpk=pCp−1k−1.)0.25
4. a)En utilisant la formule de Moivre, montrer que : (1+i)p=2p2cos(pπ4)+i 2p2sin(pπ4) (i étant le nombre complexe tel que i2=−1).0.25
4. b)On admet que : (1+i)p=k=p−12∑k=0(−1)kCp2k+ik=p−12∑k=0(−1)kCp2k+1. Montrer que : 2p2cos(pπ4)∈ℤ et 2p2cos(pπ4)≡1 [p]. (On pourra utiliser la question 3-.)0.5
5.En déduire que si p≡5 [8] alors l'équation (E) n'admet pas de solution dans ℤ.0.5
Exercice 5 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (M2(ℝ),+,×) est un anneau non commutatif de zéro la matrice O=0000 et d'unité la matrice I=1001, et que (M2(ℝ),+,·) est un espace vectoriel réel. On considère l'ensemble E={M(x,y)=x+yy2yx−y / (x,y)∈ℝ2}.
Partie II
Soient F={x+y√3 / (x,y)∈ℚ2} et G={M(x,y)=x+yy2yx−y / (x,y)∈ℚ2}.
1.Montrer que E est un sous-groupe de (M2(ℝ),+).0.5
2.Montrer que E est un sous-espace vectoriel de (M2(ℝ),+,·).0.25
3. a)Vérifier que : ∀(x,y,x′,y′)∈ℝ4 ; M(x,y)×M(x′,y′)=M(xx′+3yy′, xy′+yx′).0.25
3. b)En déduire que (E,+,×) est un anneau commutatif et unitaire.0.5
4. a)Vérifier que : M(√3,1)×M(−√3,1)=O.0.25
4. b)En déduire que (E,+,×) n'est pas un corps.0.25
1.Montrer que : ∀(x,y)∈ℚ2 ; x+y√3=0 si et seulement si (x=0 et y=0).0.25
2.Montrer que F−{0} est un sous-groupe de (ℝ*,×).0.25
3. a)Soit φ l'application définie de F−{0} vers E par : ∀(x,y)∈ℚ2−{(0,0)} ; φ(x+y√3)=M(x,y). Vérifier que : φ(F−{0})=G−{O}.0.25
3. b)Montrer que φ est un homomorphisme de (F−{0},×) vers (E,×).0.25
3. c)En déduire que (G−{O},×) est un groupe commutatif.0.25
4.Montrer que (G,+,×) est un corps commutatif.0.25