fhamtha.ma › المواضيع › National 2023 · SM · session normale

موضوع وطني

National 2023 · SM · session normale

NS 24F · 4 heures · Mathématiques · SM

Exercice 1 — التحليل

7.75 pt(s)

Partie II

لتكن f الدالة العددية للمتغير الحقيقي x المعرفة على [0 ; +∞[ بما يلي: f(0)=1 و ∀x∈]0 ; +∞[ ; f(x)=g(x)e^−x. و ليكن (C) منحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم (O ; i,j).

1. a)بين أن: ∀t∈[0 ; +∞[ ; 4(2+t)²≤11+t≤12(1+1(1+t)²)0.5

1. b)استنتج أن: ∀x∈[0 ; +∞[ ; 2x2+x≤ln(1+x)≤12(x²+2x1+x)0.5

2.لتكن g الدالة العددية للمتغير الحقيقي x المعرفة على ]0 ; +∞[ بما يلي: g(x)=ln(1+x)x. بين أن: lim_{x→0 x>0}g(x)−1x=−120.5

1.احسب lim_x→+∞f(x) ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5

2. a)بين أن f متصلة على اليمين في 00.25

2. b)تحقق أن: ∀x∈]0 ; +∞[ ; f(x)−1x=(e^−x−1x)g(x)+(g(x)−1x)0.25

2. c)استنتج أن f قابلة للاشتقاق علي اليمين في 0 و حدد f′_d(0)0.5

3.بين أن f قابلة للاشتقاق على ]0 ; +∞[ ثم أن: ∀x∈]0 ; +∞[ ; f′⁠(x)=x−(1+x)²ln(1+x)x²(1+x) e^−x0.75

4. a)بين أن: ∀x∈]0 ; +∞[ ; −32<x−(1+x)²ln(1+x)x²(1+x)<00.5

4. b)استنتج أن: ∀x∈]0 ; +∞[ ; −32<f′⁠(x)<00.25

5. a)اعط جدول تغيرات الدالة f0.25

5. b)أنشئ المنحنى (C) مبرزا نصف المماس على اليمين في النقطة ذات الأفصول 0 (نأخذ ‖i‖=2 cm)0.75

1.بين أن المعادلة ذات المجهول x : f(x)=3x ، تقبل حلا وحيدا α في ]0 ; +∞[0.5

2. a)ليكن β∈ℝ⁺ و (u_n)_n∈ℕ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: u₀=β و ∀n∈ℕ ; u_n+1=13f(u_n). بين أن: ∀n∈ℕ ; u_n≥00.5

2. b)بين أن: ∀n∈ℕ ; |u_n+1−α|≤12|u_n−α|0.5

2. c)بين بالترجع أن: ∀n∈ℕ ; |u_n−α|≤12ⁿ|β−α|0.5

2. d)استنتج أن المتتالية (u_n)_n∈ℕ تؤول إلى α0.25

Exercice 2 — التحليل

2.25 pt(s)

نعتبر الدالة العددية: x↦e^x و ليكن (Γ) منحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم (O ; i,j). لكل n∈ℕ^* و لكل k∈{0 ; 1 ; … ; n}، نشير بالرمز M_k إلى نقطة المنحنى (Γ) ذات الإحداثيات (kn ; e^kn).

1. a)بين أن: ∀k∈{0 ; 1 ; … ; (n−1)} ∃c_k∈]kn ; k+1n[ : e^k+1n−e^kn=1ne^c_k0.5

1. b)بين أن: ∀k∈{0 ; 1 ; … ; (n−1)} ; M_kM_k+1=1n√1+e^2c_k (M_kM_k+1 هي المسافة من M_k إلى M_k+1)0.25

1. c)استنتج أن: ∀k∈{0 ; 1 ; … ; (n−1)} ; 1n√1+e^2kn≤M_kM_k+1≤1n√1+e^2(k+1)n0.5

2. a)لتكن (S_n)_n∈ℕ^* المتتالية العددية المعرفة بما يلي: ∀n∈ℕ^* ; S_n=ⁿ⁻¹∑_k=0M_kM_k+1. تحقق أن: ∀n∈ℕ^* ; 1nⁿ⁻¹∑_k=0√1+e^2kn≤S_n≤1nⁿ∑_k=1√1+e^2kn0.5

2. b)استنتج أن: lim_n→+∞S_n=∫₀¹√1+e^2x dx0.5

Exercice 3 — الأعداد العقدية

3.5 pt(s)

نعتبر العدد العقدي: u=1+(2−√3)i

1. a)اكتب على الشكل الأسي الأعداد العقدية: 1−i و 1+√3i0.5

1. b)بين أن: (1−i)(1+√3i)2√2=e^iπ120.25

1. c)استنتج أن: tan(π12)=2−√30.25

1. d)بين أن: u=(√6−√2)e^iπ120.5

2. a)نعتبر المتتاليتين العدديتين (x_n)_n∈ℕ و (y_n)_n∈ℕ المعرفتين بما يلي: x₀=1 ، y₀=0 و (∀n∈ℕ) ; x_n+1=x_n−(2−√3)y_ny_n+1=(2−√3)x_n+y_n. بين بالترجع أن لكل n∈ℕ ، x_n+iy_n=uⁿ0.5

2. b)استنتج أن لكل n∈ℕ : x_n=cos(nπ12)(cosπ12)ⁿ و y_n=sin(nπ12)(cosπ12)ⁿ0.5

3. a)المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O ; e₁,e₂). لكل عدد صحيح طبيعي n ، نشير بالرمز A_n إلى النقطة ذات اللحق uⁿ. حدد الأعداد الصحيحة n التي تكون من أجلها النقط O و A₀ و A_n مستقيمية.0.5

3. b)بين أن لكل عدد صحيح n ، المثلث OA_nA_n+1 قائم الزاوية في A_n0.5

Exercice 4 — الحسابيات

3 pt(s)

ليكن p عددا أوليا فرديا. نعتبر في ℤ المعادلة (E) : x²≡2 [p]

1. a)بين أن: 2^p−1≡1 [p]0.25

1. b)استنتج أن: 2^p−12≡1 [p] أو 2^p−12≡−1 [p] (نلاحظ أن: (2^p−12−1)(2^p−12+1)=2^p−1−1)0.25

2. a)ليكن x حلا للمعادلة (E). بين أن p و x أوليان فيما بينهما.0.5

2. b)استنتج أن: 2^p−12≡1 [p] (يمكن استعمال مبرهنة فيرما Fermat)0.5

3.بين أن لكل k∈{1,2,…,p−1} ، p يقسم C_p^k (نذكر أن لكل k∈{1,2,…,p−1} : C_p^k=p!k!(p−k)! و kC_p^k=pC_p−1^k−1)0.25

4. a)باستعمال صيغة موافر (Moivre)، بين أن: (1+i)^p=2^p2cos(pπ4)+i 2^p2sin(pπ4) (i هو العدد العقدي بحيث: i²=−1)0.25

4. b)نقبل أن: (1+i)^p=^k=p−12∑_k=0(−1)^kC_p^2k+i^k=p−12∑_k=0(−1)^kC_p^2k+1. بين أن: 2^p2cos(pπ4)∈ℤ و 2^p2cos(pπ4)≡1 [p] (يمكن استعمال السؤال 3-)0.5

5.استنتج أنه إذا كان p≡5 [8] فإن المعادلة (E) لا تقبل حلا في ℤ0.5

Exercice 5 — البنيات الجبرية

3.5 pt(s)

نذكر أن (M₂(ℝ),+,×) حلقة غير تبادلية صفرها المصفوفة O=0000 و وحدتها المصفوفة I=1001، و أن (M₂(ℝ),+,·) فضاء متجهي حقيقي. نعتبر المجموعة E={M(x,y)=x+yy2yx−y / (x,y)∈ℝ²}

Partie II

ليكن F={x+y√3 / (x,y)∈ℚ²} و G={M(x,y)=x+yy2yx−y / (x,y)∈ℚ²}

1.بين أن E زمرة جزئية للزمرة (M₂(ℝ),+)0.5

2.بين أن E فضاء متجهي جزئي للفضاء المتجهي (M₂(ℝ),+,·)0.25

3. a)تحقق أن: ∀(x,y,x′,y′)∈ℝ⁴ ; M(x,y)×M(x′,y′)=M(xx′+3yy′, xy′+yx′)0.25

3. b)استنتج أن (E,+,×) حلقة تبادلية و واحدية.0.5

4. a)تحقق أن: M(√3,1)×M(−√3,1)=O0.25

4. b)استنتج أن (E,+,×) ليس جسما.0.25

1.بين أن: ∀(x,y)∈ℚ² ; x+y√3=0 يكافئ (x=0 و y=0)0.25

2.بين أن F−{0} زمرة جزئية للزمرة (ℝ^*,×)0.25

3. a)ليكن φ التطبيق المعرف من F−{0} نحو E بما يلي: ∀(x,y)∈ℚ²−{(0,0)} ; φ(x+y√3)=M(x,y). تحقق أن: φ(F−{0})=G−{O}0.25

3. b)بين أن φ تشاكل من (F−{0},×) نحو (E,×)0.25

3. c)استنتج أن (G−{O},×) زمرة تبادلية.0.25

4.بين أن (G,+,×) جسم تبادلي.0.25

التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.

شاهد التصحيح