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Sujet national
National 2022 · SM · session rattrapage
Exercice 1 — Analyse
10 pt(s)Partie B
On considère la fonction f définie sur I=[0,+∞[ par f(0)=1 et (∀x∈]0,+∞[) ; f(x)=e−x−e−2xx. Et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i,j).
A.1Montrer que : (∀x∈ℝ) ; 1+x≤ex.0.25
A. 2. a)Montrer que : (∀x∈ℝ+) ; 0≤1−e−x≤x.0.25
A. 2. b)En déduire que : (∀x∈ℝ+) ; 0≤1−x+x22−e−x≤x36.0.5
A. 2. c)Montrer que : limx→0+1−x−e−xx2=−12.0.5
B. 1. a)Montrer que f est continue à droite en 0.0.5
B. 1. b)Vérifier que : (∀x>0) ; f(x)−1x=1−2x−e−2xx2−1−x−e−xx2.0.25
B. 1. c)En déduire que f est dérivable à droite en 0 et que le nombre dérivé à droite en 0 est (−32).0.5
B. 2. a)Montrer que : (∀x>0) ; f′(x)=e−2xx2(2x+1−ex(1+x)).0.5
B. 2. b)Montrer que : (∀x>0) ; f′(x)≤−e−2x. (On pourra utiliser : 1+x≤ex.)0.5
B. 2. c)En déduire le sens de variations de f sur I.0.25
B. 3. a)Montrer que : (∀x≥0) ; 1+x+x22≤ex.0.25
B. 3. b)On admet que : (∀x>0) ; f″(x)=e−2xx3(−4x2−4x−2+ex(2+2x+x2)). En déduire que : (∀x>0) ; f″(x)>0.0.5
B. 4. a)On admet que : limx→0+f′(x)=−32. Montrer que : limx→+∞f′(x)=0.0.5
B. 4. b)En déduire que : (∀x∈I) ; |f′(x)|≤32.0.5
B. 5. a)Calculer limx→+∞f(x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
B. 5. b)Dresser le tableau de variations de f.0.25
B. 5. c)Déterminer la position relative de la courbe (C) par rapport à sa demi-tangente au point T(0 ; 1).0.25
B. 5. d)Représenter graphiquement la courbe (C) dans le repère (O ; i,j).0.5
C. 1. a)Pour tout x de [0 ; 1], on pose : g(x)=f(x)−x. Montrer que g est une bijection de [0 ; 1] vers un intervalle J que l'on déterminera.0.5
C. 1. b)Montrer qu'il existe un unique réel a∈]0 ; 1[ tel que f(a)=a.0.5
C. 2. a)Pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier k∈{0 ; 1 ; … ; n}, on considère les nombres réels xk=kan et on pose : Ik=∫xkxk+1f(t) dt et Jk=∫xkxk+1f(xk) dt. Montrer que : ∀k∈{0 ; 1 ; … ; n} ; |Jk−Ik|≤32∫xkxk+1(t−xk)dt.0.5
C. 2. b)En déduire que : ∀k∈{0 ; 1 ; … ; n} ; |Jk−Ik|≤34(an)2.0.5
C. 3. a)On pose : L=∫0af(t) dt. Montrer que pour tout n∈ℕ* : |ank=n−1∑k=0f(kan)−L|≤34a2n.0.5
C. 3. b)En déduire que : limn→+∞ank=n−1∑k=0f(kan)=∫0af(t) dt.0.25
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)Soit m∈ℂ∖{−1 ; 0 ; 1}.
Partie I
On considère dans ℂ l'équation (Em) d'inconnue z : (Em) : mz2−(m−1)2z−(m−1)2=0.
Partie II
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v). On considère les deux points A et B d'affixes respectives m−1 et 1m−1.
1. a)Montrer que le discriminant de l'équation (Em) est : Δ=(m2−1)2.0.25
1. b)Déterminer z1 et z2 les deux solutions de l'équation (Em).0.5
2.On prend uniquement dans cette question m=eiθ, avec 0<θ<π. Écrire z1 et z2 sous forme exponentielle.0.5
1.Montrer que les points O, A et B sont alignés si et seulement si m∈ℝ.0.5
2. a)On suppose que m n'est pas un nombre réel. Soient C l'image du point B par la rotation de centre A et d'angle π3 et D l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle π3, et soient P(p), Q(q) et R(r) les milieux respectifs des segments [AC], [AD] et [OB]. Montrer que l'affixe du point C est : c=m−1+(1m−m)eiπ3 et que l'affixe du point D est : d=(m−1)eiπ3.0.5
2. b)Montrer que : 2(p−r)=m−1+(1m−m)(eiπ3−1) et 2(q−r)=(m−1)eiπ3−(1m−m).0.5
2. c)Montrer que : q−r=eiπ3(p−r).0.25
2. d)Quelle est la nature du triangle PQR ? (Justifier votre réponse.)0.5
Exercice 3 — Structures algébriques
3.5 pt(s)On rappelle que (M3(ℝ),+,×) est un anneau unitaire non commutatif et non intègre d'unité I=100010001 (la loi × étant la multiplication usuelle des matrices). Pour tout réel a on pose M(a)=100a+13−12a+36−2 et soit G={M(a) / a∈ℝ}.
1. a)Soit φ l'application de ℝ vers M3(ℝ) définie par : (∀a∈ℝ) ; φ(a)=M(a). Montrer que φ est un homomorphisme de (ℝ,+) vers (M3(ℝ),×).0.5
1. b)Montrer que φ(ℝ)=G, en déduire que (G,×) est un groupe commutatif.0.5
1. c)Déterminer J l'élément neutre dans (G,×).0.5
1. d)Déterminer l'inverse de M(a) dans (G,×).0.5
1. e)Résoudre dans (G,×) l'équation : M(1)×X=M(2).0.5
2. a)Montrer que : (∀a∈ℝ) ; M(a)×J=M(a)×I.0.25
2. b)En déduire que pour tout a∈ℝ, M(a) n'est pas inversible dans (M3(ℝ),×).0.5
2. c)Vérifier que les matrices de la forme X=100x+2303x+561 avec x∈ℝ, sont des solutions dans (M3(ℝ),×) de l'équation : M(1)×X=M(2).0.25
Exercice 4 — Arithmétique
3 pt(s)1.Montrer que 137 est un nombre premier.0.5
2.Déterminer un couple (u,v) de ℤ2 tel que : 38u+136v=2.0.5
3. a)Soit x∈ℤ tel que : x38≡1 [137]. Montrer que x et 137 sont premiers entre eux.0.5
3. b)Montrer que : x136≡1 [137].0.5
3. c)Montrer que : x2≡1 [137].0.5
4.Résoudre dans ℤ l'équation (E) : x19≡1 [137].0.5
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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