fhamtha.ma › المواضيع › National 2022 · SM · session rattrapage
موضوع وطني
National 2022 · SM · session rattrapage
Exercice 1 — التحليل
10 pt(s)A.1بين أن : (∀x∈ℝ) ; 1+x≤ex.0.25
A. 2. a)بين أن: (∀x∈ℝ+) ; 0≤1−e−x≤x.0.25
A. 2. b)استنتج أن: (∀x∈ℝ+) ; 0≤1−x+x22−e−x≤x36.0.5
A. 2. c)بين أن: limx→0+1−x−e−xx2=−12.0.5
B. 1. a)بين أن f متصلة على اليمين في 0.0.5
B. 1. b)تحقق أن: f(x)−1x=1−2x−e−2xx2−1−x−e−xx2 ; (∀x∈]0,+∞[).0.25
B. 1. c)استنتج أن f قابلة للاشتقاق على اليمين في 0 وأن العدد المشتق على اليمين في 0 هو (−32).0.5
B. 2. a)بين أن: f′(x)=e−2xx2(2x+1−ex(1+x)) ; (∀x∈]0,+∞[).0.5
B. 2. b)بين أن: f′(x)≤−e−2x ; (∀x∈]0,+∞[) (يمكنك استعمال: 1+x≤ex).0.5
B. 2. c)استنتج منحى تغيرات f على I.0.25
B. 3. a)بين أن: 1+x+x22≤ex ; (∀x≥0).0.25
B. 3. b)نقبل أن: f″(x)=e−2xx3(−4x2−4x−2+ex(2+2x+x2)) ; (∀x>0). استنتج أن: f″(x)>0 ; (∀x>0).0.5
B. 4. a)نقبل أن: limx→0+f′(x)=−32. بين أن: limx→+∞f′(x)=0.0.5
B. 4. b)استنتج أن: |f′(x)|≤32 ; (∀x∈I).0.5
B. 5. a)احسب limx→+∞f(x) ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5
B. 5. b)ضع جدول تغيرات f.0.25
B. 5. c)حدد الوضع النسبي للمنحنى (C) بالنسبة لنصف مماسه عند النقطة T(0 ; 1).0.25
B. 5. d)مثل مبيانيا المنحنى (C) في المعلم (O ; i,j).0.5
C. 1. a)لكل x من [0 ; 1]، نضع: g(x)=f(x)−x. بين أن g تقابل من [0 ; 1] نحو مجال J يتم تحديده.0.5
C. 1. b)بين أنه يوجد عدد حقيقي وحيد a من ]0 ; 1[ بحيث f(a)=a.0.5
C. 2. a)لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n و لكل عدد صحيح k من {0 ; 1 ; … ; n}، نعتبر الأعداد الحقيقية xk=kan و نضع: Ik=∫xkxk+1f(t) dt و Jk=∫xkxk+1f(xk) dt. بين أن: ∀k∈{0 ; 1 ; … ; n} ; |Jk−Ik|≤32∫xkxk+1(t−xk)dt.0.5
C. 2. b)استنتج أن: ∀k∈{0 ; 1 ; … ; n} ; |Jk−Ik|≤34(an)2.0.5
C. 3. a)نضع: L=∫0af(t) dt. بين أن لكل n من ℕ*: |ank=n−1∑k=0f(kan)−L|≤34a2n.0.5
C. 3. b)استنتج أن: limn→+∞ank=n−1∑k=0f(kan)=∫0af(t) dt.0.25
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)1. a)بين أن مميز المعادلة (Em) هو: Δ=(m2−1)2.0.25
1. b)حدد z1 و z2 حلي المعادلة (Em).0.5
2.نضع و فقط في هذا السؤال m=eiθ، حيث: 0<θ<π. اكتب z1 و z2 على الشكل الأسي.0.5
1.بين أن النقط O و A و B مستقيمية إذا و فقط إذا كان m∈ℝ.0.5
2. a)نفترض أن m غير حقيقي. لتكن C صورة النقطة B بالدوران الذي مركزه A و زاويته π3 و D صورة النقطة A بالدوران الذي مركزه O و زاويته π3. و لتكن P(p) و Q(q) و R(r) منتصفات القطع [AC] و [AD] و [OB] بالتوالي. بين أن لحق النقطة C هو: c=m−1+(1m−m)eiπ3 و أن لحق النقطة D هو: d=(m−1)eiπ3.0.5
2. b)بين أن: 2(p−r)=m−1+(1m−m)(eiπ3−1) و 2(q−r)=(m−1)eiπ3−(1m−m).0.5
2. c)بين أن: q−r=eiπ3(p−r).0.25
2. d)ما هي طبيعة المثلث PQR ؟ ( علل جوابك).0.5
Exercice 3 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)1. a)ليكن التطبيق φ من ℝ نحو M3(ℝ) المعرف بما يلي: φ(a)=M(a) ; (∀a∈ℝ). بين أن φ تشاكل من (ℝ,+) نحو (M3(ℝ),×).0.5
1. b)بين أن G=φ(ℝ)، ثم استنتج أن (G,×) زمرة تبادلية.0.5
1. c)حدد J العنصر المحايد في (G,×).0.5
1. d)حدد مقلوب M(a) في (G,×).0.5
1. e)حل في (G,×) المعادلة: M(1)×X=M(2).0.5
2. a)بين أن: M(a)×J=M(a)×I ; (∀a∈ℝ).0.25
2. b)استنتج أن لكل a من ℝ، M(a) لا تقبل مقلوبا في (M3(ℝ),×).0.5
2. c)تحقق أن المصفوفات على شكل X=100x+2303x+561 بحيث x∈ℝ، حلول في (M3(ℝ),×) للمعادلة: M(1)×X=M(2).0.25
Exercice 4 — الحسابيات
3 pt(s)1.بين أن العدد 137 أولي.0.5
2.حدد زوج (u,v) من ℤ2 بحيث: 38u+136v=2.0.5
3. a)ليكن x من ℤ بحيث: x38≡1 [137]. بين أن x و 137 أوليان فيما بينهما.0.5
3. b)بين أن: x136≡1 [137].0.5
3. c)بين أن: x2≡1 [137].0.5
4.حل في المجموعة ℤ المعادلة (E): x19≡1 [137].0.5
التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.
شاهد التصحيح