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Sujet national
National 2021 · SM · session normale
Exercice 1 — Analyse
12 pt(s)Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie sur ℝ par : fn(x)=−2ex1+ex+nx. Soit (Cn) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j). (On prendra ‖i‖=‖j‖=1 cm.)
Partie II
On considère la suite (un)n≥0 définie par : u0=0 et (∀n∈ℕ) ; un+1=f0(un).
Partie III
On suppose dans cette partie que n≥2.
1. a)Calculer limx→+∞(fn(x)−nx+2) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
1. b)Montrer que la courbe (Cn) admet, en −∞, une asymptote (Δn) dont on déterminera une équation cartésienne.0.5
2. a)Montrer que la fonction fn est dérivable sur ℝ et que : (∀x∈ℝ) ; fn′(x)=−2ex(1+ex)2+n.0.5
2. b)Montrer que : (∀x∈ℝ) ; 4ex(1+ex)2≤1.0.5
2. c)En déduire le sens de variation de la fonction fn sur ℝ. (On distinguera les deux cas : n=0 et n≥1.)0.5
3. a)Déterminer l'équation de la tangente à la courbe (Cn) au point I d'abscisse 0.0.5
3. b)Montrer que le point I est le seul point d'inflexion de la courbe (Cn).0.5
4.Représenter graphiquement dans le même repère, les deux courbes (C0) et (C2).0.5
5. a)Pour tout réel t>0, on pose A(t) l'aire du domaine plan limité par (Cn) et les droites d'équations respectives : y=nx−2, x=0 et x=t. Calculer A(t) pour tout t>0.0.5
5. b)Calculer limt→+∞A(t).0.5
1. a)Montrer que l'équation f0(x)=x admet une unique solution α dans ℝ.0.5
1. b)Montrer que : (∀x∈ℝ) ; |f0′(x)|≤12.0.5
2. a)Montrer que : (∀n∈ℕ) ; |un+1−α|≤12|un−α|.0.5
2. b)En déduire que : (∀n∈ℕ) ; |un−α|≤(12)n|α|.0.5
2. c)Montrer que la suite (un)n≥0 converge vers α.0.5
1. a)Montrer que pour tout entier n≥2, il existe un unique réel xn solution de l'équation fn(x)=0.0.5
1. b)Montrer que pour tout entier n≥2, 0<xn<1. (On prendra 2e1+e<1.47.)0.5
2. a)Montrer que pour tout entier n≥2, fn+1(xn)>0.0.5
2. b)En déduire que la suite (xn)n≥2 est strictement décroissante.0.5
2. c)Montrer que la suite (xn)n≥2 est convergente.0.5
3. a)Montrer que pour tout entier n≥2, 1n<xn<1n(2e1+e).0.5
3. b)En déduire limn→+∞xn, puis montrer que limn→+∞nxn=1.0.5
4. a)Montrer que pour tout entier n≥2, on a : xn≤x2.0.5
4. b)En déduire limn→+∞(xn)n.0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
4 pt(s)Soient a, b et c trois nombres complexes non nuls tel que : a+b≠c.
1. a)Résoudre dans l'ensemble ℂ l'équation d'inconnue z : (E) : z2−(a+b+c)z+c(a+b)=0.0.5
1. b)On suppose dans cette question que : a=i, b=eiπ3 et c=a−b. Écrire les deux solutions de l'équation (E) sous forme exponentielle.0.5
2. a)Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v). On considère les trois points A(a), B(b) et C(c) qu'on suppose non alignés. Soient P(p) le centre de la rotation d'angle π2 qui transforme B en A et Q(q) le centre de la rotation d'angle (−π2) qui transforme C en A et D(d) le milieu du segment [BC]. Montrer que : 2p=b+a+(a−b)i et 2q=c+a+(c−a)i.1
2. b)Calculer : p−dq−d.0.5
2. c)En déduire la nature du triangle PDQ.0.5
3. a)Soient E le symétrique de B par rapport à P et F le symétrique de C par rapport à Q et K le milieu du segment [EF]. Montrer que l'affixe de K est k=a+i2(c−b).0.5
3. b)Montrer que les points K, P, Q et D sont cocycliques.0.5
Exercice 3 — Arithmétique
4 pt(s)Partie I
On considère dans ℤ×ℤ l'équation (E) : 47x−43y=1.
Partie II
On considère dans ℤ l'équation (F) : x41≡4 [43].
Partie III
On considère dans ℤ le système à deux équations suivant (S) : x41≡4 [43]x47≡10 [47].
1.Vérifier que le couple (11,12) est une solution particulière de l'équation (E).0.25
2.Résoudre dans ℤ×ℤ l'équation (E).0.75
1. a)Soit x∈ℤ une solution de l'équation (F). Montrer que x et 43 sont premiers entre eux, en déduire que : x42≡1 [43].0.5
1. b)Montrer que : 4x≡1 [43], en déduire que : x≡11 [43].0.5
2.Donner l'ensemble des solutions dans ℤ de l'équation (F).0.5
1. a)Soit x une solution du système (S). Montrer que x est solution du système (S′) : x≡11 [43]x≡10 [47].0.5
1. b)En déduire que : x≡527 [2021]. (On pourra utiliser la partie I.)0.5
2.Donner l'ensemble des solutions dans ℤ du système (S).0.5
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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