fhamtha.ma › المواضيع › National 2021 · SM · session normale
موضوع وطني
National 2021 · SM · session normale
Exercice 1 — التحليل
12 pt(s)لكل عدد صحيحي طبيعي n ، نعتبر الدالة fn المعرفة على ℝ بما يلي: fn(x)=−2ex1+ex+nx و ليكن (Cn) منحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (نأخذ ‖i‖=‖j‖=1cm )
Partie II
الجزء II: نعتبر المتتالية (un)n≥0 المعرفة بما يلي: u0=0 و (∀n∈ℕ) ; un+1=f0(un)
Partie III
الجزء III: نفترض في هذا الجزء أن n≥2
1. a)احسب limx→+∞(fn(x)−nx+2) ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5
1. b)بين أن المنحنى (Cn) يقبل، في −∞ ، مقاربا (Δn) يتم تحديد معادلة ديكارتية له.0.5
2. a)بين أن الدالة fn قابلة للاشتقاق على ℝ و أن: (∀x∈ℝ) ; fn′(x)=−2ex(1+ex)2+n0.5
2. b)بين أن: (∀x∈ℝ) ; 4ex(1+ex)2≤10.5
2. c)استنتج تغيرات الدالة fn على ℝ (نفصل بين الحالتين: n=0 و n≥1)0.5
3. a)حدد معادلة المماس للمنحنى (Cn) في النقطة I ذات الأفصول 00.5
3. b)بين أن النقطة I هي نقطة الانعطاف الوحيدة للمنحنى (Cn)0.5
4.مثل مبيانيا في نفس المعلم، المنحنيين (C0) و (C2)0.5
5. a)لكل عدد حقيقي t>0 ، نضع A(t) مساحة الحيز المستوي المحصور بالمنحنى (Cn) و المستقيمات ذات المعادلات بالتوالي : y=nx−2 و x=0 و x=t. أحسب A(t) لكل t>00.5
5. b)احسب limt→+∞A(t)0.5
1. a)بين أن المعادلة f0(x)=x تقبل حلا وحيدا α في ℝ0.5
1. b)بين أن: (∀x∈ℝ) ; |f0′(x)|≤120.5
2. a)بين أن: (∀n∈ℕ) ; |un+1−α|≤12|un−α|0.5
2. b)استنتج أن: (∀n∈ℕ) ; |un−α|≤(12)n|α|0.5
2. c)بين أن المتتالية (un)n≥0 تؤول إلى α0.5
1. a)بين أن لكل عدد صحيح طبيعي n≥2 ، يوجد عدد حقيقي وحيد xn هو حل للمعادلة fn(x)=00.5
1. b)بين أن لكل عدد صحيح طبيعي n≥2 ، 0<xn<1 (نأخذ 2e1+e<1.47 )0.5
2. a)بين أن لكل عدد صحيح طبيعي n≥2 ، fn+1(xn)>00.5
2. b)استنتج أن المتتالية (xn)n≥2 تناقصية قطعا.0.5
2. c)بين أن المتتالية (xn)n≥2 متقاربة.0.5
3. a)بين أن لكل عدد صحيح طبيعي n≥2 ، 1n<xn<1n(2e1+e)0.5
3. b)استنتج limn→+∞xn ثم بين أن: limn→+∞nxn=10.5
4. a)بين أن لكل عدد صحيح طبيعي n≥2 ، لدينا: xn≤x20.5
4. b)استنتج : limn→+∞(xn)n0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
4 pt(s)لتكن a و b و c ثلاثة أعداد عقدية غير منعدمة بحيث: a+b≠c
1. a)حل في المجموعة ℂ المعادلة ذات المجهول z : (E) : z2−(a+b+c)z+c(a+b)=00.5
1. b)نفترض في هذا السؤال أن: a=i و b=eiπ3 و c=a−b. اكتب حلي المعادلة (E) على الشكل الأسي.0.5
2. a)المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v). نعتبر النقط الثلاث A(a) و B(b) و C(c) التي نفترض أنها غير مستقيمية. ليكن P(p) مركز الدوران الذي زاويته π2 و يحول B إلى A و Q(q) مركز الدوران الذي زاويته (−π2) و يحول C إلى A و D(d) منتصف القطعة [BC]. بين أن: 2p=b+a+(a−b)i و 2q=c+a+(c−a)i1
2. b)احسب: p−dq−d0.5
2. c)استنتج طبيعة المثلث PDQ0.5
3. a)لتكن E مماثلة B بالنسبة للنقطة P و F مماثلة C بالنسبة للنقطة Q و K منتصف القطعة [EF]. بين أن لحق K هو k=a+i2(c−b)0.5
3. b)بين أن النقط K و P و Q و D متداورة.0.5
Exercice 3 — الحسابيات
4 pt(s)Partie I
الجزء I: نعتبر في ℤ×ℤ المعادلة (E) : 47x−43y=1
Partie II
الجزء II: نعتبر في ℤ المعادلة (F) : x41≡4 [43]
Partie III
الجزء III: نعتبر في ℤ النظمة من معادلتين: (S) : x41≡4 [43]x47≡10 [47]
1.تحقق أن الزوج (11,12) حل خاص للمعادلة (E)0.25
2.حل في ℤ×ℤ المعادلة (E)0.75
1. a)ليكن x∈ℤ حلا للمعادلة (F). بين أن x و 43 أوليان فيما بينهما ثم استنتج أن: x42≡1 [43]0.5
1. b)بين أن: 4x≡1 [43] ثم استنتج أن: x≡11 [43]0.5
2.حدد مجموعة حلول المعادلة (F) في ℤ0.5
1. a)ليكن x حلا للنظمة (S). بين أن x حل للنظمة: (S′) : x≡11 [43]x≡10 [47]0.5
1. b)استنتج أن: x≡527 [2021] ( يمكنك استعمال الجزء I )0.5
2.حدد في ℤ مجموعة حلول النظمة (S)0.5
التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.
شاهد التصحيح