Sujet national
National 2020 · SM · session rattrapage
RS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Arithmétique
3.5 pt(s)
Soient p et q deux nombres premiers vérifiant : p<q et 9p+q−1≡1 [pq].
1. a)Montrer que p et 9 sont premiers entre eux.0.5
1. b)En déduire que : 9p−1≡1 [p] et que 9q≡1 [p].1
2. a)Montrer que p−1 et q sont premiers entre eux.0.5
2. b)En utilisant le théorème de Bezout, montrer que : p=2.1
3. a)En utilisant le théorème de Fermat, montrer que : 9q−1≡1 [q].0.5
3. b)En déduire que : q=5.0.5
Exercice 2 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On note M3(ℝ) l'ensemble des matrices d'ordre 3 à coefficients réels. On rappelle que (M3(ℝ),+,·) est un espace vectoriel réel de dimension 9 et que (M3(ℝ),+,×) est un anneau non commutatif unitaire de zéro O=000000000 et d'unité I=100010001. On considère le sous-ensemble : E={M(x,y,z)=x−y−y0z0yx−zx / (x,y,z)∈ℝ3}.
Partie II
On considère le sous-ensemble F de E des matrices de la forme M(x,y,0) où (x,y)∈ℝ2.
1. a)Montrer que E est un sous-espace vectoriel de (M3(ℝ),+,·).0.25
1. b)Déterminer une base de (E,+,·).0.5
2. a)Vérifier que : ∀(x,y,z)∈ℝ3, ∀(x′,y′,z′)∈ℝ3 ; M(x,y,z)×M(x′,y′,z′)=M(xx′−yy′, xy′+yx′, zz′).0.25
2. b)Montrer que (E,+,×) est un anneau commutatif.0.5
1.Montrer que F est un sous-groupe du groupe (E,+).0.25
2. a)On note φ l'application de ℂ* vers E définie par : ∀(x,y)∈ℝ2 ; φ(x+iy)=M(x,y,0). Montrer que φ est un homomorphisme de (ℂ*,×) vers (E,×).0.25
2. b)En déduire que (F*,×) est un groupe commutatif. (F* désigne F−{O}.)0.5
2. c)Montrer que (F,+,×) est un corps commutatif dont on précisera l'unité.0.5
3. a)Vérifier que : (∀M(x,y,0)∈F) ; 010000000×M(x,y,0)=O.0.25
3. b)En déduire qu'aucun des éléments du sous-ensemble F n'admet un inverse pour la multiplication dans M3(ℝ).0.25
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
Soit m un nombre réel non nul. On considère dans l'ensemble des nombres complexes ℂ les deux équations : (E) : z2+2z+1+m2=0 et (F) : z3+2(1−i)z2+(1+m2−4i)z−2i(1+m2)=0.
Partie II
Soit m un nombre réel non nul. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u,v). On considère les deux points A(−1+im) et B(−1−im). Soient Ω le milieu du segment [AB], A′ le milieu du segment [OB] et B′ le milieu du segment [OA]. La rotation de centre Ω et d'angle (−π2) transforme A en P(p), la rotation de centre A′ et d'angle (−π2) transforme B en Q(q) et la rotation de centre B′ et d'angle (−π2) transforme O en R(r).
1.Résoudre dans ℂ l'équation (E).0.5
2. a)Montrer que l'équation (F) admet une solution imaginaire pure que l'on déterminera.0.25
2. b)Résoudre dans ℂ l'équation (F).0.5
1.Montrer que : p=−1+m, q=1−i2(−1−im) et r=q.1.5
2. a)Vérifier que : q−r=−ip.0.25
2. b)En déduire que : OP=QR et que les deux droites (OP) et (QR) sont orthogonales.0.5
Exercice 4 — Analyse
13 pt(s)
Partie I
On considère la fonction f définie sur l'intervalle I=[0,1] par f(x)=xln(2−x) et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i,j).
Partie II
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction fn définie sur I=[0,1] par : fn(x)=xnln(2−x).
Partie III
Pour tout entier naturel n≥2, on pose : In=∫01fn(x) dx, où fn est la fonction de la deuxième partie.
1. a)Montrer que f est dérivable sur I et que : ∀x∈I ; f′(x)=ln(2−x)−x2−x.0.75
1. b)Montrer que la fonction dérivée f′ est strictement décroissante sur I.0.5
1. c)Montrer qu'il existe un unique réel a∈]0 ; 1[ tel que : f′(a)=0 et que f(a)=a22−a.0.75
2. a)Étudier les variations de f, puis donner son tableau de variations.0.75
2. b)Montrer que la courbe (C) est concave.0.5
2. c)Montrer que : (∀t∈I), (∀x∈I) ; f(x)≤f′(t)(x−t)+f(t).0.5
2. d)En déduire que : (∀x∈I) ; f(x)≤xln 2 et f(x)≤−x+1.0.5
3.Représenter la courbe (C). (On prendra ‖i‖=2 cm.)0.5
4.Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C) et les droites d'équations respectives : x=0, x=1 et y=0.0.75
1. a)Vérifier que fn est positive sur I et que fn(0)=fn(1).0.5
1. b)Montrer qu'il existe au moins an∈]0,1[ tel que : fn′(an)=0.0.5
2. a)Montrer que fn est dérivable sur I et que : ∀x∈I ; fn′(x)=xn−1gn(x) où : gn(x)=nln(2−x)−x2−x.0.75
2. b)Montrer que la fonction gn est strictement décroissante sur I.0.5
2. c)En déduire que an est unique.0.5
3. a)On considère la suite (an)n≥2 ainsi définie. Montrer que : ∀n≥2 ; fn(an)=1n·ann+12−an, en déduire que : limn→+∞fn(an)=0.1
3. b)Montrer que : ∀n≥2, gn(an+1)=−ln(2−an+1), en déduire que la suite (an)n≥2 est strictement croissante.1
3. c)Montrer que la suite (an)n≥2 est convergente.0.25
3. d)Montrer que limn→+∞an=1.0.5
1.Montrer que la suite (In)n≥2 est décroissante, en déduire qu'elle est convergente.0.75
2.En utilisant une intégration par parties, montrer que : In=1n+1∫01xn+12−x dx.0.5
3.Montrer que : (∀n≥2) ; 0≤In≤1n+1, en déduire que limn→+∞In=0.0.75