موضوع وطني
National 2020 · SM · session rattrapage
RS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — الحسابيات
3.5 pt(s)
ليكن p و q عددين أوليين يحققان : p<q و 9p+q−1≡1 [pq]
1. a)بين أن p و 9 أوليان فيما بينهما.0.5
1. b)استنتج أن: 9p−1≡1 [p] و أن 9q≡1 [p]1
2. a)بين أن p−1 و q أوليان فيما بينهما.0.5
2. b)باستعمال مبرهنة بوزو ، بين أن: p=21
3. a)باستعمال مبرهنة فيرما ، بين أن : 9q−1≡1 [q]0.5
3. b)استنتج أن: q=50.5
Exercice 2 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)
نرمز بالرمز M3(ℝ) إلى مجموعة المصفوفات المربعة من الرتبة 3 ذات معاملات حقيقية. نذكر أن (M3(ℝ),+,·) فضاء متجهي حقيقي بعده 9 و أن (M3(ℝ),+,×) حلقة غير تبادلية و واحدية صفرها O=000000000 و وحدتها I=100010001. نعتبر المجموعة الجزئية: E={M(x,y,z)=x−y−y0z0yx−zx / (x,y,z)∈ℝ3}
Partie II
الجزء الثاني: نعتبر المجموعة الجزئية F من E للمصفوفات على الشكل M(x,y,0) حيث (x,y)∈ℝ2
1. a)بين أن E فضاء متجهي جزئي للفضاء (M3(ℝ),+,·)0.25
1. b)حدد أساسا للفضاء (E,+,·)0.5
2. a)تحقق أن: ∀(x,y,z)∈ℝ3, ∀(x′,y′,z′)∈ℝ3 ; M(x,y,z)×M(x′,y′,z′)=M(xx′−yy′, xy′+yx′, zz′)0.25
2. b)بين أن (E,+,×) حلقة تبادلية0.5
1.بين أن F زمرة جزئية للزمرة (E,+)0.25
2. a)ليكن φ التطبيق المعرف من ℂ* نحو E بما يلي: ∀(x,y)∈ℝ2 ; φ(x+iy)=M(x,y,0). بين أن φ تشاكل من (ℂ*,×) نحو (E,×)0.25
2. b)استنتج أن (F*,×) زمرة تبادلية. (F*=F−{O})0.5
2. c)بين أن (F,+,×) جسم تبادلي يتم تحديد وحدته.0.5
3. a)تحقق أن: (∀M(x,y,0)∈F) ; 010000000×M(x,y,0)=O0.25
3. b)استنتج أن لا أحد من عناصر المجموعة الجزئية F يقبل مقلوبا بالنسبة للضرب في M3(ℝ)0.25
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)
Partie I
I- ليكن m عددا حقيقيا غير منعدم. نعتبر في مجموعة الأعداد العقدية ℂ ، المعادلتين: (E) : z2+2z+1+m2=0 و (F) : z3+2(1−i)z2+(1+m2−4i)z−2i(1+m2)=0
Partie II
II- المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O ; u,v). نعتبر النقطتين: A(−1+im) و B(−1−im). لتكن Ω منتصف القطعة [AB] و A′ منتصف القطعة [OB] و B′ منتصف القطعة [OA]. الدوران الذي مركزه Ω و زاويته (−π2) يحول A إلى P(p) و الدوران الذي مركزه A′ و زاويته (−π2) يحول B إلى Q(q) و الدوران الذي مركزه B′ و زاويته (−π2) يحول O إلى R(r)
1.حل في ℂ المعادلة (E)0.5
2. a)بين أن المعادلة (F) تقبل حلا تخيليا صرفا يتم تحديده.0.25
2. b)حل في ℂ المعادلة (F)0.5
1.بين أن: p=−1+m و q=1−i2(−1−im) و r=q1.5
2. a)تحقق أن: q−r=−ip0.25
2. b)استنتج أن: OP=QR و أن المستقيمين (OP) و (QR) متعامدان.0.5
Exercice 4 — التحليل
13 pt(s)
Partie I
الجزء الأول: نعتبر الدالة f المعرفة على المجال I=[0,1] بما يلي: f(x)=xln(2−x) و ليكن (C) تمثيلها المبياني في معلم متعامد ممنظم (O ; i,j)
Partie II
الجزء الثاني: ليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر من أو يساوي 2. نعتبر الدالة fn المعرفة على I=[0,1] بما يلي: fn(x)=xnln(2−x)
Partie III
الجزء الثالث: لكل عدد صحيح طبيعي n≥2 ، نضع: In=∫01fn(x) dx
1. a)بين أن f قابلة للاشتقاق على I و أن: ∀x∈I ; f′(x)=ln(2−x)−x2−x0.75
1. b)بين أن الدالة المشتقة f′ تناقصية قطعا على I0.5
1. c)بين أنه يوجد عدد حقيقي وحيد a∈]0 ; 1[ بحيث: f′(a)=0 و أن: f(a)=a22−a0.75
2. a)ادرس تغيرات f ، ثم اعط جدول تغيراتها.0.75
2. b)بين أن المنحنى (C) مقعر.0.5
2. c)بين أن: (∀t∈I) , (∀x∈I) ; f(x)≤f′(t)(x−t)+f(t)0.5
2. d)استنتج أن لكل x من I : f(x)≤xln 2 و f(x)≤−x+10.5
3.أنشئ المنحنى (C) (نأخذ: ‖i‖=2 cm)0.5
4.احسب، ب cm2 ، مساحة جزء المستوى المحصور بالمنحنى و المستقيمات المعرفة بالمعادلات: x=0 و x=1 و y=00.75
1. a)تحقق أن fn موجبة على I و أن fn(0)=fn(1)0.5
1. b)بين أنه يوجد على الأقل an∈]0,1[ بحيث: fn′(an)=00.5
2. a)بين أن fn قابلة للاشتقاق على I و أن: ∀x∈I ; fn′(x)=xn−1gn(x) حيث: gn(x)=nln(2−x)−x2−x0.75
2. b)بين أن الدالة gn تناقصية قطعا على I0.5
2. c)استنتج أن an وحيد.0.5
3. a)نعتبر المتتالية (an)n≥2 المعرفة حسب ما سبق. بين أن: ∀n≥2 ; fn(an)=1n·ann+12−an ، استنتج أن: limn→+∞fn(an)=01
3. b)بين أن: ∀n≥2 , gn(an+1)=−ln(2−an+1) ، استنتج أن المتتالية (an)n≥2 تزايدية قطعا.1
3. c)بين أن المتتالية (an)n≥2 متقاربة.0.25
3. d)بين أن: limn→+∞an=10.5
1.بين أن المتتالية (In)n≥2 تناقصية، استنتج أنها متقاربة.0.75
2.باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن: In=1n+1∫01xn+12−x dx0.5
3.بين أن: (∀n≥2) ; 0≤In≤1n+1 ، ثم استنتج أن: limn→+∞In=00.75