Exercice 1 — Arithmétique
3.5 pt(s)
On considère dans ℤ×ℤ l'équation (D) : 7x3−13y=5.
1. a)Soit (x,y)∈ℤ×ℤ une solution de l'équation (D). Montrer que x et 13 sont premiers entre eux.0.5
1. b)En déduire que : x12≡1 [13].0.5
1. c)Montrer que : x3≡10 [13].1
1. d)En déduire que : x12≡3 [13].0.5
2.Déduire des questions précédentes que l'équation (D) n'admet pas de solution dans ℤ×ℤ.1
Exercice 2 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On note par M2(ℝ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre deux. On rappelle que (M2(ℝ),+,×) est un anneau non commutatif unitaire d'unité I=1001 et que (ℝ*,×) est un groupe commutatif. On considère le sous-ensemble E de M2(ℝ) défini par : E={1x0y / x∈ℝ et y∈ℝ*}.
1. a)Montrer que E est une partie stable de (M2(ℝ),×).0.5
1. b)Montrer que la multiplication n'est pas commutative dans E.0.5
1. c)Vérifier que : (∀x∈ℝ)(∀y∈ℝ*) ; 1x0y×1−xy01y=1−xy01y×1x0y=1001.0.5
2.Montrer que (E,×) est un groupe non commutatif.0.5
3. a)On considère le sous-ensemble F de E défini par : F={M(x)=1x−10x / x∈ℝ*}. Montrer que l'application φ définie par : (∀x∈ℝ*) ; φ(x)=M(x) est un homomorphisme de (ℝ*,×) vers (E,×).0.5
3. b)En déduire que (F,×) est un groupe commutatif dont on précisera l'élément neutre.1
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Soit m un nombre complexe non nul.
Partie I
On considère dans ℂ l'équation d'inconnue z : (E) : z3−2mz2+2m2z−m3=0.
Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u,v). On considère les points A et B d'affixes respectives a=meiπ3 et b=me−iπ3. On note P le centre de la rotation d'angle π2 qui transforme O en A, Q le centre de la rotation d'angle π2 qui transforme A en B, et R le centre de la rotation d'angle π2 qui transforme B en O.
1.Résoudre dans ℂ l'équation (E). (On remarque que m est une solution de l'équation (E).)0.5
2. a)On note z1 et z2 les deux autres solutions de l'équation (E) autres que m. Vérifier que : 1z1+1z2=1m.0.25
2. b)Dans le cas où m=1+eiπ3, écrire sous la forme algébrique z1 et z2.0.5
1.Montrer que les points O, A et B ne sont pas alignés.0.25
2. a)Montrer que l'affixe de P est p=m√22ei7π12 et que l'affixe de R est r=m√22e−i7π12.1
2. b)Montrer que l'affixe de Q est q=m√2sin(7π12).0.5
3.Montrer que OQ=PR et que les deux droites (OQ) et (PR) sont perpendiculaires.0.5
Exercice 4 — Analyse
13 pt(s)
Partie I
On considère la fonction f définie sur l'intervalle I=[0 ; +∞[ par : f(0)=0 et (∀x∈]0 ; +∞[) ; f(x)=x3ln(1+1x), et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i,j). (On prendra ‖i‖=‖j‖=1 cm.)
Partie II
On considère la suite (un)n≥0 définie par : 0<u0<a et (∀n∈ℕ) ; un+1=f−1(un).
Partie III
On considère la fonction F définie sur l'intervalle I par : (∀x∈I) ; F(x)=∫x1f(t) dt.
1.En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction t↦ln(t) sur l'intervalle [x,x+1], montrer que : (P) (∀x∈]0 ; +∞[) ; 1x+1<ln(1+1x)<1x.0.5
2. a)En utilisant la proposition (P), montrer que la fonction f est dérivable à droite en 0.0.5
2. b)En utilisant la proposition (P), montrer que la courbe (C) admet une branche parabolique dont on précisera la direction.0.5
3. a)Montrer que la fonction f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et que : (∀x∈]0 ; +∞[) ; f′(x)=3x2(ln(1+1x)−13(1+x)).0.75
3. b)En déduire que la fonction f est strictement croissante sur I. (On pourra utiliser la proposition (P).)0.5
3. c)Dresser le tableau de variations de f.0.25
4. a)Pour tout x∈]0 ; +∞[, on pose : g(x)=f(x)x. Vérifier que : (∀x∈]0 ; +∞[) ; g′(x)=2x(ln(1+1x)−12(1+x)), en déduire que la fonction g est strictement croissante sur ℝ*+.0.75
4. b)Montrer que l'équation g(x)=1 admet sur ℝ*+ une solution unique notée a, puis vérifier que a∈]1 ; 2[. (On prendra ln 2=0.7 et ln32=1.5.)0.5
4. c)En déduire que les seules solutions de l'équation f(x)=x sont 0 et a.0.5
5. a)Représenter graphiquement la courbe (C). (On précisera la demi-tangente à droite en O et la branche parabolique de (C).)0.5
5. b)Montrer que f est une bijection de I vers I. (On note f−1 sa bijection réciproque.)0.25
1.Montrer par récurrence que : (∀n∈ℕ) ; 0<un<a.0.5
2. a)Montrer que : g( ]0 ; a[ )=]0 ; 1[.0.5
2. b)En déduire que la suite (un)n≥0 est strictement croissante.0.5
2. c)Montrer que la suite (un)n≥0 est convergente.0.25
3.Déterminer limn→+∞un.0.5
1. a)Étudier suivant les valeurs de x le signe de F(x).0.5
1. b)Montrer que la fonction F est dérivable sur I et déterminer sa dérivée première F′.0.5
1. c)En déduire que F est strictement décroissante sur I.0.25
2. a)Montrer que : (∀x∈[1 ; +∞[) ; F(x)≤(1−x)ln 2.0.5
2. b)En déduire limx→+∞F(x).0.25
3. a)En utilisant la méthode d'intégration par parties, montrer que : (∀x∈]0 ; +∞[) ; F(x)=ln 24−x44ln(1+1x)+14∫x1t3t+1 dt.0.5
3. b)Calculer ∫x1t3t+1 dt pour tout x∈]0 ; +∞[. (On remarque que : t31+t=t2−t+1−11+t.)0.5
3. c)En déduire que : (∀x∈]0 ; +∞[) ; F(x)=524−x312+x28−x4+14ln(1+x)−x44ln(1+1x).0.5
3. d)Calculer limx→0+F(x), en déduire la valeur de ∫01f(t) dt.0.5
4. a)Pour tout entier naturel non nul n, on pose : vn=k=n−1∑k=0(F(2k+12n)−F(kn)). Montrer que pour tout n∈ℕ* et pour tout k∈{0,1,…,n−1} : −12nf(2k+12n)≤F(2k+12n)−F(kn)≤−12nf(kn).0.5
4. b)En déduire que : (∀n∈ℕ*) ; −12nk=n∑k=1f(kn)≤vn≤−12nk=n−1∑k=0f(kn). (On remarque que : 2k+12n<k+1n.)0.5
4. c)Montrer que la suite numérique (vn)n∈ℕ* est convergente et déterminer sa limite.0.25