Exercice 1 — الحسابيات
3.5 pt(s)
نعتبر في ℤ×ℤ المعادلة (D) : 7x3−13y=5
1. a)ليكن (x,y) من ℤ×ℤ حلا للمعادلة (D). بين أن x و 13 أوليان فيما بينهما.0.5
1. b)استنتج أن: x12≡1 [13]0.5
1. c)بين أن: x3≡10 [13]1
1. d)استنتج أن: x12≡3 [13]0.5
2.استنتج من الأسئلة السابقة أن المعادلة (D) لا تقبل حلا في ℤ×ℤ1
Exercice 2 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)
نرمز بالرمز M2(ℝ) لمجموعة المصفوفات المربعة من الرتبة الثانية. نذكر أن (M2(ℝ),+,×) حلقة غير تبادلية و واحدية وحدتها I=1001 و أن (ℝ*,×) زمرة تبادلية. نعتبر المجموعة الجزئية E من M2(ℝ) المعرفة بما يلي: E={1x0y / x∈ℝ ; y∈ℝ*}
1. a)بين أن E جزء مستقر من (M2(ℝ),×)0.5
1. b)بين أن الضرب غير تبادلي في E0.5
1. c)تحقق أن: (∀x∈ℝ)(∀y∈ℝ*) ; 1x0y×1−xy01y=1−xy01y×1x0y=10010.5
2.بين أن (E,×) زمرة غير تبادلية.0.5
3. a)نعتبر المجموعة الجزئية F من E المعرفة بما يلي: F={M(x)=1x−10x / x∈ℝ*}. بين أن التطبيق φ المعرف بما يلي: (∀x∈ℝ*) ; φ(x)=M(x) تشاكل من (ℝ*,×) نحو (E,×)0.5
3. b)استنتج أن (F,×) زمرة تبادلية يجب تحديد عنصرها المحايد.1
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)
ليكن m عدد عقدي غير منعدم.
Partie I
الجزء الأول: نعتبر في المجموعة ℂ المعادلة ذات المجهول z ، (E) : z3−2mz2+2m2z−m3=0
Partie II
الجزء الثاني: المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر (O ; u,v). نعتبر النقط A و B ذات الألحاق على التوالي: a=meiπ3 و b=me−iπ3. ليكن P مركز الدوران الذي زاويته π2 و يحول O إلى A و Q مركز الدوران الذي زاويته π2 و يحول A إلى B و R مركز الدوران الذي زاويته π2 و يحول B إلى O
1.حل في ℂ المعادلة (E) (لاحظ أن m حلا للمعادلة (E))0.5
2. a)ليكن z1 و z2 حلي المعادلة (E) المخالفين للحل m. تحقق أن: 1z1+1z2=1m0.25
2. b)في حالة: m=1+eiπ3 ، أكتب على الشكل الجبري z1 و z20.5
1.بين أن النقط O و A و B غير مستقيمية.0.25
2. a)بين أن لحق P هو: p=m√22ei7π12 وأن لحق R هو: r=m√22e−i7π121
2. b)بين أن لحق Q هو: q=m√2sin(7π12)0.5
3.بين أن OQ=PR و أن المستقيمين (OQ) و (PR) متعامدان.0.5
Exercice 4 — التحليل
13 pt(s)
Partie I
الجزء الأول: نعتبر الدالة f المعرفة على المجال I=[0 ; +∞[ بما يلي: f(0)=0 و لكل x من ]0 ; +∞[ ، f(x)=x3ln(1+1x) و ليكن (C) منحناها في معلم متعامد ممنظم (O ; i,j) (نأخذ: ‖i‖=‖j‖=1cm)
Partie II
الجزء الثاني: نعتبر المتتالية (un)n≥0 المعرفة بما يلي: 0<u0<a و لكل n من ℕ ، un+1=f−1(un)
Partie III
الجزء الثالث: نعتبر الدالة F المعرفة على المجال I بما يلي: (∀x∈I) ; F(x)=∫x1f(t) dt
1.بتطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية على الدالة t↦ln(t) في المجال [x,x+1] ، بين أن: (P) (∀x∈]0 ; +∞[) ; 1x+1<ln(1+1x)<1x0.5
2. a)باستعمال العبارة (P) بين أن الدالة f قابلة للاشتقاق على اليمين في 00.5
2. b)باستعمال العبارة (P) بين أن المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا يتم تحديد اتجاهه.0.5
3. a)بين أن الدالة f قابلة للاشتقاق على ]0 ; +∞[ و أن : (∀x∈]0 ; +∞[) ; f′(x)=3x2(ln(1+1x)−13(1+x))0.75
3. b)استنتج أن الدالة f تزايدية قطعا على I (يمكن استعمال العبارة (P))0.5
3. c)اعط جدول تغيرات f0.25
4. a)لكل x من المجال ]0 ; +∞[ نضع: g(x)=f(x)x. تحقق أن: (∀x∈]0 ; +∞[) ; g′(x)=2x(ln(1+1x)−12(1+x)) ثم استنتج أن الدالة g تزايدية قطعا على ℝ*+0.75
4. b)بين أن المعادلة g(x)=1 تقبل على ℝ*+ ، حلا وحيدا نرمز إليه بالرمز a ثم تحقق أن a ينتمي إلى المجال ]1 ; 2[ (نأخذ: ln 2=0.7 و ln32=1.5)0.5
4. c)استنتج أن الحلول الوحيدة للمعادلة f(x)=x هي: 0 و a0.5
5. a)مثل مبيانيا المنحنى (C) (حدد نصف المماس على اليمين في النقطة O و الفرع الشلجمي للمنحنى (C))0.5
5. b)بين أن الدالة f تقابل من I نحو I (نرمز بالرمز f−1 لتقابلها العكسي)0.25
1.بين بالترجع أن: (∀n∈ℕ) ; 0<un<a0.5
2. a)بين أن: g( ]0 ; a[ )=]0 ; 1[0.5
2. b)استنتج أن المتتالية (un)n≥0 تزايدية قطعا.0.5
2. c)بين أن المتتالية (un)n≥0 متقاربة.0.25
3.حدد limn→+∞un0.5
1. a)أدرس حسب قيم x ، إشارة F(x)0.5
1. b)بين أن الدالة F قابلة للاشتقاق على I و حدد مشتقتها الأولى F′0.5
1. c)استنتج أن F تناقصية قطعا على I0.25
2. a)بين أن: (∀x∈[1 ; +∞[) ; F(x)≤(1−x)ln 20.5
2. b)استنتج limx→+∞F(x)0.25
3. a)باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن: (∀x∈]0 ; +∞[) ; F(x)=ln 24−x44ln(1+1x)+14∫x1t3t+1 dt0.5
3. b)أحسب ∫x1t3t+1 dt لكل x من ]0 ; +∞[ (لاحظ أن: t31+t=t2−t+1−11+t)0.5
3. c)استنتج أن: (∀x∈]0 ; +∞[) ; F(x)=524−x312+x28−x4+14ln(1+x)−x44ln(1+1x)0.5
3. d)احسب limx→0+F(x) ثم استنتج قيمة : ∫01f(t) dt0.5
4. a)لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n نضع: vn=k=n−1∑k=0(F(2k+12n)−F(kn)). بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي n من ℕ* و لكل عدد صحيح طبيعي k من {0,1,…,n−1} : −12nf(2k+12n)≤F(2k+12n)−F(kn)≤−12nf(kn)0.5
4. b)استنتج أن: (∀n∈ℕ*) ; −12nk=n∑k=1f(kn)≤vn≤−12nk=n−1∑k=0f(kn) (لاحظ أن: 2k+12n<k+1n)0.5
4. c)بين أن المتتالية العددية (vn)n∈ℕ* متقاربة ثم حدد نهايتها.0.25