Sujet national
National 2019 · SM · session rattrapage
RS25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
Soit α un nombre complexe non nul. On considère dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation d'inconnue z : (Eα) : z2−iα√3 z−α2=0.
Partie II
Soit α un nombre complexe non nul. On suppose que le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u,v). On considère les points Ω, M1 et M2 d'affixes respectivement α, z1=1+i√32α et z2=−1+i√32α, et soit R la rotation de centre O et d'angle π3.
1. a)Vérifier que le discriminant de (Eα) est Δ=α2.0.25
1. b)Résoudre dans ℂ l'équation (Eα).0.5
2.Sachant que α=|α|eiλ (λ∈ℝ), mettre les deux racines de l'équation (Eα) sous la forme exponentielle.0.5
1. a)Montrer que R(Ω)=M1 et que R(M1)=M2.0.5
1. b)En déduire que les deux triangles OΩM1 et OM1M2 sont équilatéraux.0.25
2. a)Vérifier que : z1−z2=α.0.25
2. b)Montrer que les deux droites (ΩM2) et (OM1) sont orthogonales.0.5
2. c)En déduire que OΩM1M2 est un losange.0.25
3.Montrer que pour tout réel θ, le nombre Z=z2−αz1−α÷z2−|α|eiθz1−|α|eiθ est un réel.0.5
Exercice 2 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une urne contient n boules numérotées de 1 à n (n∈ℕ*, n≥3). On retire, sans remise, l'une après l'autre toutes les boules de cette urne. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
1.Quelle est la probabilité pour que les boules 1, 2 et 3 sortent consécutivement et dans cet ordre ?1
2.Calculer la probabilité que les boules 1, 2 et 3 sortent dans cet ordre (consécutivement ou pas) ?1
3.On considère la variable aléatoire Xn égale au nombre de tirages nécessaire pour obtenir les boules 1, 2 et 3. Déterminer la loi de probabilité de Xn.1
Exercice 3 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On considère l'espace vectoriel de dimension 2 noté (V2,+,·). Soit (i,j) une base de V2. On pose : e1=12i+12j et e2=12i−12j. Soit ∗ la loi de composition interne définie par : ∀(x,y,x′,y′)∈ℝ4, (xi+yj)∗(x′i+y′j)=(xx′+yy′)i+(xy′+yx′)j.
1. a)Montrer que (e1,e2) est une base de V2.0.25
1. b)Vérifier que : e1∗e1=e1 ; e2∗e2=e2 et e1∗e2=e2∗e1=0.0.25
1. c)Montrer que : ∀(X,X′,Y,Y′)∈ℝ4, (Xe1+Ye2)∗(X′e1+Y′e2)=XX′e1+YY′e2.0.25
2. a)Montrer que la loi ∗ est commutative.0.25
2. b)Montrer que la loi ∗ est associative.0.25
2. c)Montrer que la loi ∗ admet un élément neutre.0.25
2. d)Montrer que (V2,+,∗) est un anneau commutatif unitaire.0.25
3. a)Soit u∈V2−{0}. On note : Eu={λu / λ∈ℝ}. Montrer que (Eu,+) est un sous-groupe du groupe (V2,+).0.25
3. b)Montrer que (Eu,+,·) est un sous-espace vectoriel de l'espace (V2,+,·).0.25
3. c)Montrer que : Eu stable pour ∗⟺ la famille (u∗u,u) est liée.0.5
4. a)On suppose que : (∃α∈ℝ*) ; u∗u=αu. On considère l'application φ:ℝ*→Eu, x↦xαu. Montrer que φ est un isomorphisme de (ℝ*,×) vers (Eu,∗).0.5
4. b)En déduire que (Eu,+,∗) est un corps commutatif.0.25
Exercice 4 — Analyse
10 pt(s)
Partie I
On considère la fonction g définie sur I=]−1,+∞[ par : g(x)=1+x2−2x(1+x)ln(1+x).
Partie II
On considère la fonction f définie sur I=]−1,+∞[ par : f(x)=ln(1+x)1+x2. Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j). On note g la fonction de la partie I et α l'unique réel strictement positif tel que g(α)=0.
Partie III
On pose J=∫01f(x) dx, où f est la fonction de la Partie II et (T) la tangente à (C) au point d'abscisse 0.
1. a)Montrer que : limx→−1+g(x)=2.0.25
1. b)Montrer que : limx→+∞g(x)=−∞.0.5
2.Montrer que g est dérivable sur I et que (∀x∈I) g′(x)=−2(1+2x)ln(1+x).0.5
3. a)On donne le tableau de variations de g sur ]−1,+∞[ : g′ est négative sur ]−1 ; −12[, s'annule en −12, est positive sur ]−12 ; 0[, s'annule en 0, puis est négative sur ]0 ; +∞[ ; g décroît de 2 à 54−ln 22, puis croît jusqu'à 1, puis décroît vers −∞. Montrer qu'il existe un réel strictement positif α unique tel que : g(α)=0.0.5
3. b)Vérifier que : α<1. (On prendra : ln 2=0.7.)0.25
3. c)En déduire que : (∀x∈]−1,α[) 0<g(x) et que : (∀x∈]α,+∞[) g(x)<0.0.5
1. a)Calculer limx→−1+f(x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
1. b)Calculer limx→+∞f(x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
2. a)Montrer que f est dérivable sur I et que (∀x∈I) f′(x)=g(x)(1+x)(1+x2)2.0.75
2. b)Donner le sens de variation de f sur I.0.5
2. c)Vérifier que : f(α)=12α(1+α) et que : (∀x∈I) f(x)≤12α(1+α).0.75
3. a)Donner l'équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.0.25
3. b)Montrer que : (∀x>0) ln(1+x)<x.0.5
3. c)En déduire que : (∀x>0) f(x)<x.0.25
3. d)Représenter graphiquement (T) et (C). (On prendra : α=0.8 et ‖i‖=‖j‖=2 cm.)1
1. a)En utilisant le changement de variable t=1−x1+x, montrer que : J=π8ln 2.1
1. b)Déterminer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), la tangente (T), la droite d'équation x=0 et la droite d'équation x=1.0.5
2.En utilisant la méthode d'intégration par parties, calculer : K=∫01arctan(x)1+x dx.1