موضوع وطني
National 2019 · SM · session rattrapage
RS25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)
Partie I
ليكن α عددا عقديا غير منعدم. I- نعتبر في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة ذات المجهول z : (Eα) : z2−iα√3 z−α2=0
Partie II
ليكن α عددا عقديا غير منعدم. II- نفترض أن المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O ; u,v). نعتبر النقط Ω و M1 و M2 ذات الألحاق على التوالي α و z1=1+i√32α و z2=−1+i√32α و ليكن R الدوران الذي مركزه O و زاويته π3.
1. a)تحقق أن مميز المعادلة (Eα) هو: Δ=α20.25
1. b)حل في ℂ المعادلة (Eα)0.5
2.علما أن α=|α|eiλ (λ∈ℝ)، اكتب حلي المعادلة (Eα) على الشكل الأسي.0.5
1. a)بين أن R(Ω)=M1 و أن R(M1)=M20.5
1. b)استنتج أن المثلثين OΩM1 و OM1M2 متساويا الأضلاع.0.25
2. a)تحقق أن: z1−z2=α0.25
2. b)بين أن المستقيمين (ΩM2) و (OM1) متعامدان.0.5
2. c)استنتج أن OΩM1M2 معين.0.25
3.بين أن لكل عدد حقيقي θ ، العدد Z=z2−αz1−α÷z2−|α|eiθz1−|α|eiθ حقيقي.0.5
Exercice 2 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي كيس على n كرة مرقمة من 1 إلى n (n∈ℕ*, n≥3). نسحب، الواحدة تلو الأخرى و بدون إحلال، جميع الكرات من هذا الكيس. لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس.
1.ما هو احتمال الحصول على الكرات 1 و 2 و 3 بالتتابع و في هذا الترتيب؟1
2.ما هو احتمال الحصول على الكرات 1 و 2 و 3 في هذا الترتيب (سواء كانت متتابعة أم غير متتابعة)؟1
3.نعتبر المتغير العشوائي Xn الذي يساوي العدد الضروري من السحبات للحصول على الكرات 1 و 2 و 3. حدد قانون احتمال المتغير Xn.1
Exercice 3 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)
نعتبر الفضاء المتجهي (V2,+,·) الذي بعده 2. ليكن (i,j) أساسا للفضاء V2. نضع: e1=12i+12j و e2=12i−12j. ليكن ∗ قانون التركيب الداخلي المعرف في V2 بما يلي: ∀(x,y,x′,y′)∈ℝ4, (xi+yj)∗(x′i+y′j)=(xx′+yy′)i+(xy′+yx′)j
1. a)بين أن (e1,e2) أساس للفضاء V20.25
1. b)تحقق أن: e1∗e1=e1 و e2∗e2=e2 و e1∗e2=e2∗e1=00.25
1. c)بين أن: ∀(X,X′,Y,Y′)∈ℝ4 (Xe1+Ye2)∗(X′e1+Y′e2)=XX′e1+YY′e20.25
2. a)بين أن القانون ∗ تبادلي.0.25
2. b)بين أن القانون ∗ تجميعي.0.25
2. c)بين أن القانون ∗ يقبل عنصرا محايدا.0.25
2. d)بين أن (V2,+,∗) حلقة تبادلية واحدية.0.25
3. a)ليكن u∈V2−{0}. نعتبر: Eu={λu / λ∈ℝ}. بين أن (Eu,+) زمرة جزئية للزمرة (V2,+)0.25
3. b)بين أن (Eu,+,·) فضاء متجهي جزئي للفضاء (V2,+,·)0.25
3. c)بين أن: Eu مستقر بالنسبة للقانون ∗ ⟺ الأسرة (u∗u,u) مقيدة.0.5
4. a)نفترض أن: (∃α∈ℝ*) ; u∗u=αu. نعتبر التطبيق φ:ℝ*→Eu, x↦xαu. بين أن φ تشاكل تقابلي من (ℝ*,×) نحو (Eu,∗)0.5
4. b)بين أن (Eu,+,∗) جسم تبادلي.0.25
Exercice 4 — التحليل
10 pt(s)
Partie I
الجزء I : نعتبر الدالة g المعرفة على I=]−1,+∞[ بما يلي: g(x)=1+x2−2x(1+x)ln(1+x)
Partie II
الجزء II : نعتبر الدالة f المعرفة على I=]−1,+∞[ بما يلي: f(x)=ln(1+x)1+x2 ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O ; i,j)
Partie III
الجزء III : نضع J=∫01f(x) dx
1. a)بين أن: limx→−1+g(x)=20.25
1. b)بين أن: limx→+∞g(x)=−∞0.5
2.بين أن g قابلة للاشتقاق على I ، و أن: (∀x∈I) g′(x)=−2(1+2x)ln(1+x)0.5
3. a)نعطي جدول تغيرات الدالة g : بين أنه يوجد عدد حقيقي موجب قطعا وحيد α بحيث: g(α)=00.5
3. b)تحقق أن: α<1 (نأخذ: ln 2=0.7)0.25
3. c)استنتج أن : (∀x∈]−1,α[) 0<g(x) و أن: (∀x∈]α,+∞[) g(x)<00.5
1. a)احسب limx→−1+f(x) ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5
1. b)احسب limx→+∞f(x) ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5
2. a)بين أن f قابلة للاشتقاق على I و أن (∀x∈I) f′(x)=g(x)(1+x)(1+x2)20.75
2. b)اعط جدول تغيرات الدالة f على I0.5
2. c)تحقق أن: f(α)=12α(1+α) و أن: (∀x∈I) f(x)≤12α(1+α)0.75
3. a)حدد معادلة المماس (T) للمنحنى (C) في النقطة ذات الأفصول 0.0.25
3. b)بين أن: (∀x>0) ln(1+x)<x0.5
3. c)استنتج أن: (∀x>0) f(x)<x0.25
3. d)مثل مبيانيا (T) و (C). (نأخذ: α=0.8 و ‖i‖=‖j‖=2 cm)1
1. a)باستعمال تغيير المتغير: t=1−x1+x ، بين أن: J=π8ln 21
1. b)حدد، بالسنتمر مربع، مساحة الحيز المستوي المحصور بين المنحنى (C) و المستقيمات (T) و x=0 و x=10.5
2.باستعمال طريقة المكاملة بالأجزاء، احسب: K=∫01arctan(x)1+x dx1