Sujet national
National 2019 · SM · session normale
NS24F · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (ℂ,+,×) est un corps commutatif et que (M2(ℝ),+,×) est un anneau unitaire de zéro la matrice nulle O=0000 et d'unité la matrice I=1001. Soit ∗ la loi de composition interne définie sur ℂ par : (∀(x,y)∈ℝ2)(∀(a,b)∈ℝ2) ; (x+yi)∗(a+bi)=xa+(x2b+a2y)i.
1. a)Montrer que la loi ∗ est commutative sur ℂ.0.25
1. b)Montrer que la loi ∗ est associative sur ℂ.0.5
1. c)Montrer que la loi ∗ admet un élément neutre e que l'on déterminera.0.25
1. d)Soit (x,y)∈ℝ*×ℝ. Montrer que le nombre complexe x+yi admet le nombre complexe 1x−yx4i comme symétrique pour la loi ∗.0.25
2. a)On considère le sous-ensemble E de ℂ défini par : E={x+yi / x∈ℝ*+ ; y∈ℝ}. Montrer que E est stable pour la loi ∗ dans ℂ.0.25
2. b)Montrer que (E,∗) est un groupe commutatif.0.5
3.On considère le sous-ensemble G de E défini par : G={1+yi / y∈ℝ}. Montrer que G est un sous-groupe de (E,∗).0.5
4. a)On considère l'ensemble F={M(x,y)=xy0x / x∈ℝ*+ ; y∈ℝ}. Montrer que F est stable pour la loi × dans M2(ℝ).0.25
4. b)Soit φ l'application de E vers F qui à tout nombre complexe x+yi de E fait correspondre la matrice M(x2,y)=x2y0x2 de F. Montrer que φ est un isomorphisme de (E,∗) vers (F,×).0.5
4. c)En déduire que (F,×) est un groupe commutatif.0.25
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
Soit m un nombre complexe non réel (m∈ℂ−ℝ). On considère dans ℂ l'équation d'inconnue z définie par : (E) : z2−(1+i)(1+m)z+2im=0.
Partie II
Soit m un nombre complexe non réel (m∈ℂ−ℝ). Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u,v). On considère les points suivants : A le point d'affixe a=1+i, B le point d'affixe b=(1+i)m, C le point d'affixe c=1−i, D l'image du point B par la rotation de centre O et d'angle π2, et Ω le milieu du segment [CD].
1. a)Montrer que le discriminant de l'équation (E) est non nul.0.25
1. b)Déterminer z1 et z2, les deux solutions de l'équation (E).0.5
2. a)On suppose dans cette question que m=eiθ avec 0<θ<π. Déterminer le module et un argument de z1+z2.0.5
2. b)On suppose toujours que m=eiθ avec 0<θ<π. Montrer que si z1z2∈ℝ alors z1+z2=2i.0.25
1. a)Montrer que l'affixe du point Ω est ω=(1−i)(1−m)2.0.5
1. b)Calculer b−aω.0.25
1. c)En déduire que (OΩ)⊥(AB) et que AB=2OΩ.0.5
2. a)La droite (OΩ) coupe la droite (AB) au point H d'affixe h. Montrer que h−ab−a est un réel et que hb−a est un imaginaire pur.0.5
2. b)En déduire h en fonction de m.0.25
Exercice 3 — Arithmétique
3 pt(s)
On admet que 2969 (l'année amazighe actuelle) est un nombre premier. Soient n et m deux entiers naturels vérifiant : n8+m8≡0 [2969].
1. a)On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas n. En utilisant le théorème de Bezout, montrer que : (∃u∈ℤ) ; u×n≡1 [2969].0.5
1. b)En déduire que : (u×m)8≡−1 [2969] et que (u×m)2968≡−1 [2969]. (On remarque que : 2968=8×371.)0.5
1. c)Montrer que 2969 ne divise pas u×m.0.5
1. d)En déduire qu'on a aussi (u×m)2968≡1 [2969].0.5
2. a)En utilisant les résultats précédents, montrer que 2969 divise n.0.5
2. b)Montrer que : n8+m8≡0 [2969]⟺n≡0 [2969] et m≡0 [2969].0.5
Exercice 4 — Analyse
10 pt(s)
Partie I
On considère la fonction f définie sur ℝ par : f(x)=4x(e−x+12x−1) et on note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i,j).
Partie II
On considère la suite numérique (un)n∈ℕ définie par : u0<α et (∀n∈ℕ) ; un+1=f(un)+un, où f est la fonction de la partie I et α l'unique réel de ]32,2[ tel que f(α)=0.
1.Calculer limx→−∞f(x) et limx→+∞f(x).0.5
2. a)Montrer que f est dérivable sur ℝ et que : (∀x∈ℝ) ; f′(x)=4(e−x−1)(1−x).0.5
2. b)Étudier les variations de f sur ℝ, puis donner son tableau de variations.0.75
2. c)Montrer qu'il existe un unique réel α dans l'intervalle ]32,2[ tel que f(α)=0. (On prendra e32=4,5.)0.5
2. d)Vérifier que : e−α=1−α2.0.25
3. a)En appliquant le théorème de Rolle à la fonction f′, montrer qu'il existe un réel x0 de l'intervalle ]0,1[ tel que : f″(x0)=0.0.5
3. b)En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction f″, montrer que, pour tout réel x différent de x0 de l'intervalle [0,1], on a : f″(x)x−x0>0.0.5
3. c)En déduire que I(x0,f(x0)) est un point d'inflexion de la courbe (C).0.25
4. a)Étudier les branches infinies de la courbe (C).0.5
4. b)Représenter graphiquement la courbe (C) dans le repère (O ; i,j). (On prendra ‖i‖=‖j‖=1 cm, f(1)=−0,5 et il n'est pas demandé de représenter le point I.)0.5
5. a)Vérifier que : (∀x∈]−∞,α]) ; f(x)≤0.0.25
5. b)Montrer que : ∫0αf(x) dx=23α(α2−3), en déduire que : 32<α≤√3.0.75
5. c)Calculer en fonction de α, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C) et les droites d'équations respectives : y=0, x=0 et x=α.0.5
1. a)Montrer par récurrence que : (∀n∈ℕ) un<α. (Utiliser la question 5-a) de la partie I.)0.5
1. b)En déduire que la suite (un)n∈ℕ est décroissante.0.25
2. a)On suppose que 0≤u0 et on pose (∀x∈ℝ) ; g(x)=e−x+12x−34. Montrer que : (∀x∈ℝ) ; g(x)>0. (On prendra : ln 2=0.69.)0.5
2. b)En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que : (∀n∈ℕ) ; 0≤un. (On remarque que : f(x)+x=4xg(x).)0.5
2. c)Montrer que la suite (un)n∈ℕ est convergente.0.25
2. d)Calculer limn→+∞un.0.5
3. a)On suppose que u0<0. Montrer que : (∀n∈ℕ) ; un+1−un≤f(u0).0.5
3. b)Montrer que : (∀n∈ℕ) ; un≤u0+nf(u0).0.5
3. c)En déduire limn→+∞un.0.25