موضوع وطني
National 2019 · SM · session normale
NS24F · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)
نذكر أن (ℂ,+,×) جسم تبادلي وأن (M2(ℝ),+,×) حلقة واحدية، صفرها المصفوفة المنعدمة O=0000 و وحدتها المصفوفة I=1001. ليكن ∗ قانون التركيب الداخلي المعرف في ℂ بما يلي: (∀(x,y)∈ℝ2)(∀(a,b)∈ℝ2) ; (x+yi)∗(a+bi)=xa+(x2b+a2y)i
1. a)بين أن القانون ∗ تبادلي في ℂ0.25
1. b)بين أن القانون ∗ تجميعي في ℂ0.5
1. c)بين أن القانون ∗ يقبل عنصرا محايدا e يتم تحديده.0.25
1. d)ليكن (x,y)∈ℝ*×ℝ. بين أن العدد العقدي x+yi يقبل العدد العقدي 1x−yx4i مماثلا له بالنسبة للقانون ∗0.25
2. a)نعتبر المجموعة الجزئية E للمجموعة ℂ المعرفة بما يلي: E={x+yi / x∈ℝ*+ ; y∈ℝ}. بين أن E مستقر بالنسبة للقانون ∗ في ℂ0.25
2. b)بين أن (E,∗) زمرة تبادلية.0.5
3.نعتبر المجموعة الجزئية G للمجموعة E المعرفة بما يلي : G={1+yi / y∈ℝ}. بين أن G زمرة جزئية للزمرة (E,∗)0.5
4. a)نعتبر المجموعة F={M(x,y)=xy0x / x∈ℝ*+ ; y∈ℝ}. بين أن F مستقر بالنسبة للقانون × في M2(ℝ)0.25
4. b)ليكن φ التطبيق من E نحو F الذي يربط كل عدد عقدي x+yi من E بالمصفوفة M(x2,y)=x2y0x2 من F. بين أن φ تشاكل تقابلي من (E,∗) نحو (F,×)0.5
4. c)استنتج أن (F,×) زمرة تبادلية.0.25
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)
Partie I
ليكن m عددا عقديا غير حقيقي (m∈ℂ−ℝ). I- نعتبر في ℂ ، المعادلة ذات المجهول z المعرفة بما يلي: (E) : z2−(1+i)(1+m)z+2im=0
Partie II
ليكن m عددا عقديا غير حقيقي (m∈ℂ−ℝ). II- المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O ; u,v). نعتبر النقط التالية: A النقطة ذات اللحق a=1+i ، B النقطة ذات اللحق b=(1+i)m ، C النقطة ذات اللحق c=1−i ، D صورة النقطة B بالدوران الذي مركزه O و زاويته π2 و Ω منتصف القطعة [CD]
1. a)بين أن مميز المعادلة (E) غير منعدم.0.25
1. b)حدد z1 و z2 ، حلي المعادلة (E)0.5
2. a)نفترض في هذا السؤال أن m=eiθ حيث 0<θ<π. حدد معيار و عمدة للعدد z1+z20.5
2. b)بين أنه إذا كان z1z2∈ℝ فإن z1+z2=2i0.25
1. a)بين أن لحق النقطة Ω هو ω=(1−i)(1−m)20.5
1. b)احسب b−aω0.25
1. c)استنتج أن (OΩ)⊥(AB) و أن AB=2OΩ0.5
2. a)المستقيم (OΩ) يقطع المستقيم (AB) في النقطة H ذات اللحق h. بين أن h−ab−a عدد حقيقي وأن hb−a عدد تخيلي صرف.0.5
2. b)استنتج h بدلالة m0.25
Exercice 3 — الحسابيات
3 pt(s)
نقبل أن 2969 (السنة الأمازيغية الحالية) عدد أولي. ليكن n و m عددين صحيحين طبيعيين بحيث: n8+m8≡0 [2969]
1. a)نفترض في هذا السؤال أن 2969 لا يقسم n. باستعمال مبرهنة بوزو (BEZOUT)، بين أن: (∃u∈ℤ) ; u×n≡1 [2969]0.5
1. b)استنتج أن: (u×m)8≡−1 [2969] و أن: (u×m)2968≡−1 [2969] (لاحظ أن: 2968=8×371)0.5
1. c)بين أن 2969 لا يقسم u×m0.5
1. d)استنتج أنه لدينا أيضا: (u×m)2968≡1 [2969]0.5
2. a)باستعمال النتائج السابقة، بين أن 2969 يقسم n0.5
2. b)بين أن: n8+m8≡0 [2969]⟺n≡0 [2969] و m≡0 [2969]0.5
Exercice 4 — التحليل
10 pt(s)
Partie I
الجزء I : نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بما يلي: f(x)=4x(e−x+12x−1) ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد و ممنظم (O ; i,j)
Partie II
الجزء II: نعتبر المتتالية العددية (un)n∈ℕ المعرفة بما يلي: u0<α و (∀n∈ℕ) ; un+1=f(un)+un
1.احسب limx→−∞f(x) و limx→+∞f(x)0.5
2. a)بين أن f قابلة للاشتقاق على ℝ ، و أن: (∀x∈ℝ) ; f′(x)=4(e−x−1)(1−x)0.5
2. b)ادرس تغيرات الدالة f على ℝ ، ثم ضع جدول تغيراتها.0.75
2. c)بين أنه يوجد عدد حقيقي وحيد α في المجال ]32,2[ بحيث: f(α)=0 (نأخذ: e32=4,5)0.5
2. d)تحقق أن: e−α=1−α20.25
3. a)بتطبيق مبرهنة رول على الدالة f′ ، بين أنه يوجد عدد حقيقي x0 من المجال ]0,1[ بحيث : f″(x0)=00.5
3. b)بتطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية على الدالة f″ ، بين أنه، لكل عدد حقيقي x يخالف x0 من المجال [0,1] ، لدينا: f″(x)x−x0>00.5
3. c)استنتج أن I(x0,f(x0)) هي نقطة انعطاف للمنحنى (C)0.25
4. a)ادرس الفروع اللانهائية للمنحنى (C)0.5
4. b)مثل مبيانيا المنحنى (C) في المعلم (O ; i,j) (نأخذ : ‖i‖=‖j‖=1 cm و f(1)=−0,5 و غير مطلوب إنشاء النقطة I)0.5
5. a)تحقق أن: (∀x∈]−∞,α]) ; f(x)≤00.25
5. b)بين أن: ∫0αf(x) dx=23α(α2−3) ، ثم استنتج أن : 32<α≤√30.75
5. c)أحسب، بدلالة α و بوحدة cm2 ، مساحة الحيز المستوي المحصور بين المنحنى (C) و المستقيمات التي معادلاتها على التوالي: y=0 و x=0 و x=α0.5
1. a)بين بالترجع أن: (∀n∈ℕ) un<α (استعمل السؤال 5-أ) من الجزء I)0.5
1. b)بين أن المتتالية (un)n∈ℕ تناقصية.0.25
2. a)نفترض أن 0≤u0 و نضع: (∀x∈ℝ) ; g(x)=e−x+12x−34 بين أن: (∀x∈ℝ) ; g(x)>0 (نأخذ: ln 2=0.69)0.5
2. b)باستعمال نتيجة السؤال السابق، بين أن: (∀n∈ℕ) ; 0≤un (لاحظ أن: f(x)+x=4xg(x))0.5
2. c)بين أن المتتالية (un)n∈ℕ متقاربة.0.25
2. d)احسب limn→+∞un0.5
3. a)نفترض أن u0<0. بين أن: (∀n∈ℕ) ; un+1−un≤f(u0)0.5
3. b)بين أن: (∀n∈ℕ) ; un≤u0+nf(u0)0.5
3. c)استنتج limn→+∞un0.25