Sujet national
National 2018 · SM · session rattrapage
RS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (M2(ℝ),+,×) est un anneau unitaire de zéro la matrice nulle O=0000 et d'unité la matrice I=1001, et que (M2(ℝ),+,·) est un espace vectoriel réel de dimension 4. Pour tout couple (x,y)∈ℝ2, on pose M(x,y)=xy0x et on considère l'ensemble E={M(x,y) / (x,y)∈ℝ2}.
1.Montrer que E est un sous-groupe du groupe (M2(ℝ),+).0.5
2. a)Montrer que E est un sous-espace de l'espace vectoriel (M2(ℝ),+,·).0.5
2. b)Montrer que l'espace vectoriel réel (E,+,·) est de dimension 2.0.25
3. a)Montrer que E est stable pour la loi ×.0.25
3. b)Montrer que (E,+,×) est un anneau commutatif.0.5
4. a)On définit dans M2(ℝ) la loi de composition interne T par : pour tout M(x,y) et M(x′,y′) de M2(ℝ), M(x,y) T M(x′,y′)=M(x,y)×M(x′,y′)−M(y,0)×M(y′,0). Et soit φ l'application de ℂ* vers E qui à tout nombre complexe x+iy (où (x,y)∈ℝ2) fait correspondre la matrice M(x,y) de E. Montrer que E est stable pour la loi T.0.25
4. b)Montrer que φ est un homomorphisme de (ℂ*,×) vers (E,T).0.25
4. c)On pose : E*=E−{O}. Montrer que (E*,T) est un groupe commutatif.0.25
5. a)Montrer que la loi T est distributive par rapport à la loi « + » dans E.0.5
5. b)Montrer que (E,+,T) est un corps commutatif.0.25
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Pour tout nombre complexe z∈ℂ−{i} on pose : h(z)=i(z−2iz−i).
1. a)Vérifier que : h(z)=z⟺z2−2iz−2=0.0.5
1. b)Résoudre dans ℂ l'équation (E) : z2−2iz−2=0.0.5
2. a)Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,e1,e2). On note a et b les deux solutions de l'équation (E) telles que Re(a)=1, et pour tout z∈ℂ−{i,a,b} on note M(z), M′(h(z)), A(a) et B(b) les points d'affixes respectivement z, h(z), a et b. Montrer que : h(z)−ah(z)−b=−z−az−b.0.75
2. b)En déduire que : (M′B,M′A)≡π+(MB,MA) [2π].0.75
3. a)Montrer que si M, A et B sont alignés alors M, A, B et M′ sont alignés.0.5
3. b)Montrer que si M, A et B ne sont pas alignés alors M, A, B et M′ sont cocycliques.0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée. On désigne par X la variable aléatoire égale à la fréquence d'apparition de la face « pile » (le nombre de fois d'apparition de la face « pile » divisé par 10).
1. a)Déterminer les valeurs prises par X.1
1. b)Déterminer la probabilité de l'événement [X=12].1
2.Quelle est la probabilité de l'événement : X supérieur ou égale à 910 ?1
Exercice 4 — Analyse
10 pt(s)
Soit f la fonction numérique définie sur l'intervalle [0,+∞[ par :f(x)=√x (ln x)2si x>00si x=0.On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j).
1. a)Montrer que f est continue à droite en 0. (On pourra remarquer que : f(x)=(4x14ln(x14))2.)0.5
1. b)Calculer limx→+∞f(x) et limx→+∞f(x)x, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.75
2. a)Étudier la dérivabilité de f à droite en 0, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.75
2. b)Montrer que f est dérivable sur ]0,+∞[ puis calculer f′(x) pour x>0.0.75
2. c)Étudier les variations de f sur [0,+∞[, en déduire que : (∀x∈]0,1]) 0≤√x (ln x)2≤(4e)2.1
2. d)Tracer la courbe (C) dans un repère orthonormé. (On prendra pour unité 2 cm.)0.5
3. a)Pour tout réel x≥0, on pose F(x)=∫x1f(t) dt. Montrer que la fonction F est dérivable sur l'intervalle [0,+∞[.0.5
3. b)Calculer F′(x) pour x≥0, en déduire le sens de variation de F sur [0,+∞[.1
4. a)En utilisant la méthode d'intégration par parties, calculer ∫x1√t ln t dt pour tout x>0.0.75
4. b)Montrer que pour x>0, F(x)=−23x√x (ln x)2+89x√x ln x−1627x√x+1627.0.75
4. c)En déduire l'aire du domaine plan limité par la courbe (C) et les droites d'équations respectives : x=0, x=1 et y=0.1
5. a)Pour tout entier naturel n non nul, on pose : un=∫1n1f(x) dx. Montrer que la suite (un)n≥1 est bornée et strictement monotone.1
5. b)Montrer que la suite (un)n≥1 est convergente puis calculer limn→+∞un.0.75