fhamtha.ma › المواضيع › National 2018 · SM · session rattrapage
موضوع وطني
National 2018 · SM · session rattrapage
Exercice 1 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)نذكر أن (M2(ℝ),+,×) حلقة واحدية صفرها المصفوفة المنعدمة O=0000 و وحدتها المصفوفة I=1001 و أن (M2(ℝ),+,·) فضاء متجهي حقيقي بعده 4. لكل (x,y)∈ℝ2 نضع M(x,y)=xy0x و نعتبر المجموعة E={M(x,y) / (x,y)∈ℝ2}
1.بين أن E زمرة جزئية للزمرة (M2(ℝ),+)0.5
2. a)بين أن E فضاء متجهي جزئي للفضاء المتجهي (M2(ℝ),+,·)0.5
2. b)بين أن بعد الفضاء المتجهي الحقيقي (E,+,·) هو 2.0.25
3. a)بين أن E مستقر بالنسبة للقانون «×»0.25
3. b)بين أن (E,+,×) حلقة تبادلية.0.5
4. a)نعرف في M2(ℝ) قانون التركيب الداخلي T بما يلي: لكل M(x,y) و M(x′,y′) من M2(ℝ) : M(x,y) T M(x′,y′)=M(x,y)×M(x′,y′)−M(y,0)×M(y′,0). ليكن φ التطبيق المعرف من ℂ* نحو E بما يلي: لكل عدد عقدي مكتوب على شكله الجبري z=x+iy، φ(z)=M(x,y). بين أن E مستقر بالنسبة للقانون «T»0.25
4. b)بين أن φ تشاكل من (ℂ*,×) نحو (E,T)0.25
4. c)نضع: E*=E−{O}. بين أن (E*,T) زمرة تبادلية.0.25
5. a)بين أن القانون T توزيعي بالنسبة للقانون «+» في E.0.5
5. b)بين أن (E,+,T) جسم تبادلي.0.25
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)لكل عدد عقدي z∈ℂ−{i} نضع: h(z)=i(z−2iz−i)
1. a)تحقق من أن: h(z)=z⟺z2−2iz−2=00.5
1. b)حل في ℂ المعادلة: (E) : z2−2iz−2=00.5
2. a)المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,e1,e2). نرمز بـ a و b لحلي المعادلة (E) بحيث: Re(a)=1 و لكل z∈ℂ−{i,a,b} نعتبر النقط M(z) و M′(h(z)) و A(a) و B(b) ذات الألحاق z و h(z) و a و b بالتوالي. بين أن: h(z)−ah(z)−b=−z−az−b0.75
2. b)استنتج أن: (M′B,M′A)≡π+(MB,MA) [2π]0.75
3. a)بين أنه إذا كانت النقط M و A و B مستقيمية فإن النقط M و A و B و M′ مستقيمية.0.5
3. b)بين أنه إذا كانت النقط M و A و B غير مستقيمية فإن النقط M و A و B و M′ متداورة.0.5
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)نرمي قطعة نقدية غير مغشوشة في الهواء 10 مرات متتالية. ليكن X المتغير العشوائي الذي يربط كل نتيجة ممكنة بتردد ظهور الوجه «Pile» (أي عدد مرات الحصول على «Pile» مقسوم على 10)
1. a)حدد القيم الممكنة للمتغير X.1
1. b)احسب احتمال الحدث: [X=12].1
2.ما هو احتمال الحدث: X أكبر من أو يساوي 910 ؟1
Exercice 4 — التحليل
10 pt(s)لتكن f الدالة العددية المعرفة على المجال [0,+∞[ بما يلي: f(0)=0 و f(x)=√x (ln x)2 (x>0). ليكن (C) منحناها في معلم متعامد ممنظم (O,i,j).
1. a)بين أن f متصلة على اليمين في 0 (يمكن ملاحظة أن f(x)=(4x14ln(x14))2).0.5
1. b)احسب limx→+∞f(x) و limx→+∞f(x)x ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.75
2. a)ادرس اشتقاق f على اليمين في 0 ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.75
2. b)بين أن f قابلة للاشتقاق على ]0,+∞[ ثم احسب f′(x) لكل x>0.0.75
2. c)ادرس تغيرات الدالة f على [0,+∞[. استنتج أن: 0≤√x (ln x)2≤(4e)2 (∀x∈]0,1])1
2. d)أنشئ المنحنى (C) (نأخذ: ‖i‖=2cm).0.5
3. a)لكل x≥0 نضع: F(x)=∫x1f(t) dt. بين أن الدالة F قابلة للاشتقاق على المجال [0,+∞[.0.5
3. b)احسب F′(x) لكل x≥0. استنتج رتابة F على [0,+∞[.1
4. a)باستعمال طريقة المكاملة بالأجزاء احسب ∫x1√t ln t dt لكل x>0.0.75
4. b)بين أن لكل x>0 : F(x)=−23x√x (ln x)2+89x√x ln x−1627x√x+16270.75
4. c)استنتج مساحة الحيز المستوي المحصور بين المنحنى (C) و المستقيمات المعرفة بالمعادلات: x=0 و x=1 و y=01
5. a)لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n نضع: un=∫1n1f(x) dx. بين أن المتتالية (un)n≥1 محدودة و رتيبة قطعا.1
5. b)بين أن المتتالية (un)n≥1 متقاربة ثم احسب limn→+∞un.0.75
التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.
شاهد التصحيح