Sujet national
National 2018 · SM · session normale
NS 24F · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (ℂ,+,×) est un corps commutatif et que (M2(ℝ),+,×) est un anneau unitaire, de zéro la matrice nulle O=0000 et d'unité la matrice I=1001, et que (M2(ℝ),+,·) est un espace vectoriel réel. Pour tout couple (x,y)∈ℝ2, on pose M(x,y)=x−2yyx+2y et on considère l'ensemble E={M(x,y) / (x,y)∈ℝ2}.
1.Montrer que E est un sous-groupe du groupe (M2(ℝ),+).0.25
2. a)Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel (M2(ℝ),+,·).0.25
2. b)On pose J=M(0,1). Montrer que (I,J) est une base de l'espace vectoriel réel (E,+,·).0.5
3. a)Montrer que E est une partie stable de (M2(ℝ),×).0.5
3. b)Montrer que (E,+,×) est un anneau commutatif.0.5
4. a)Soit φ l'application de ℂ* vers M2(ℝ) définie par : (∀(x,y)∈ℝ2−{(0,0)}) ; φ(x+iy)=M(x+y,−y)=x+y2y−yx−y. Montrer que φ est un homomorphisme de (ℂ*,×) vers (M2(ℝ),×).0.5
4. b)On pose E*=E−{O}. Montrer que φ(ℂ*)=E*.0.5
4. c)En déduire que (E*,×) est un groupe commutatif.0.25
5.Montrer que (E,+,×) est un corps commutatif.0.25
Exercice 2 — Arithmétique
3 pt(s)
Soit p un nombre premier tel que : p=3+4k (k∈ℕ*).
1.Montrer que pour tout entier relatif x, si x2≡1 [p] alors xp−5≡1 [p].0.5
2. a)Soit x un entier relatif vérifiant : xp−5≡1 [p]. Montrer que x et p sont premiers entre eux.0.5
2. b)Montrer que : xp−1≡1 [p].0.5
2. c)Vérifier que : 2+(k−1)(p−1)=k(p−5).0.5
2. d)En déduire que : x2≡1 [p].0.5
3.Résoudre dans ℤ l'équation : x62≡1 [67].0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Soit m un nombre complexe.
Partie I
On considère dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation (Em) d'inconnue z : z2+(im+2)z+im+2−m=0.
Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v). On considère les points A, Ω, M et M′ d'affixes respectifs a=−1−i, ω=i, m et m′=−im−1+i.
1. a)Vérifier que Δ=(im−2i)2 est le discriminant de l'équation (Em).0.25
1. b)Donner, suivant les valeurs de m, l'ensemble des solutions de l'équation (Em).0.5
2.Pour m=i√2, écrire les deux racines de l'équation (Em) sous la forme exponentielle.0.5
1. a)Soit R la rotation d'angle −π2 qui transforme M en M′. Vérifier que Ω est le centre de R.0.25
1. b)Déterminer l'affixe b de B, où B est le point tel que : A=R(B).0.5
2. a)Vérifier que : m′−a=ω−aω−b(m−b).0.5
2. b)En déduire que les points A, M et M′ sont alignés si et seulement si les points A, B, Ω et M sont cocycliques.0.5
2. c)Montrer que l'ensemble des points M tels que les points A, M et M′ soient alignés est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.0.5
Exercice 4 — Analyse
7.5 pt(s)
Partie II
On considère la fonction f définie sur [0,+∞[ par : f(x)=(x+1x)ln(1+x) ; x≠0f(0)=1 et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j).
Partie III
On reprend la fonction f de la partie II, définie par :f(x)=(x+1x)ln(1+x)si x≠01si x=0.
1. a)Montrer que : (∀x∈]0,+∞[) ; ∫0xt1+t dt=x−ln(1+x).0.5
1. b)En utilisant le changement de variable u=t2, montrer que : (∀x∈]0,+∞[) ; ∫0xt1+t dt=12∫0x211+√u du.0.5
1. c)En déduire que : (∀x∈]0,+∞[) ; 12(1+x)≤x−ln(1+x)x2≤12.0.5
2.Déterminer limx→0+x−ln(1+x)x2.0.25
1. a)Montrer que f est continue à droite en 0.0.25
1. b)Montrer que f est dérivable à droite en 0. (On pourra utiliser le résultat de la question I.2.)0.5
1. c)Calculer : limx→+∞f(x), limx→+∞f(x)x puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.75
2. a)Montrer que f est dérivable sur ]0,+∞[, puis vérifier que : (∀x∈]0,+∞[) ; f′(x)=x−ln(1+x)x2.0.5
2. b)En déduire que f est strictement croissante sur [0,+∞[.0.25
2. c)Vérifier que : f([0,+∞[)=[1,+∞[.0.25
3.Représenter graphiquement la courbe (C). (On construira la demi-tangente à droite au point d'abscisse 0.)0.5
1. a)On considère la fonction g définie sur ]0,+∞[ par : g(x)=f(x)−x. Montrer que : (∀x∈]0,+∞[) ; 0≤f′(x)≤12.0.5
1. b)En déduire que g est strictement décroissante sur ]0,+∞[ puis montrer que g(]0,+∞[)=]−∞,1[.0.5
1. c)Montrer que l'équation f(x)=x admet une solution unique α sur ]0,+∞[.0.25
2. a)Soit a un réel de l'intervalle ]0,+∞[. On considère la suite (un)n∈ℕ définie par : u0=a et (∀n∈ℕ) ; un+1=f(un). Montrer que : (∀n∈ℕ) ; un>0.0.25
2. b)Montrer que : (∀n∈ℕ) ; |un+1−α|≤12|un−α|.0.5
2. c)Montrer par récurrence que : (∀n∈ℕ) ; |un−α|≤(12)n|a−α|.0.5
2. d)En déduire que la suite (un)n∈ℕ converge vers α.0.25
Exercice 5 — Analyse
2.5 pt(s)
On considère la fonction F définie sur ℝ par : F(x)=∫0xet2 dt.
1.Montrer que F est continue et strictement croissante sur ℝ.0.5
2. a)Montrer que : (∀x∈]0,+∞[) ; F(x)≥x. En déduire limx→+∞F(x).0.5
2. b)Montrer que F est impaire, en déduire limx→−∞F(x).0.5
2. c)Montrer que F est une bijection de ℝ dans ℝ.0.5
2. d)Montrer que la bijection réciproque G de la fonction F est dérivable en 0, puis calculer G′(0).0.5