موضوع وطني
National 2018 · SM · session normale
NS 24F · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)
نذكر أن (ℂ,+,×) جسم تبادلي وأن (M2(ℝ),+,×) حلقة واحدية، صفرها المصفوفة المنعدمة O=0000 و وحدتها المصفوفة I=1001 و أن (M2(ℝ),+,·) فضاء متجهي حقيقي. لكل زوج (x,y) من ℝ2 نضع : M(x,y)=x−2yyx+2y و نعتبر المجموعة E={M(x,y) / (x,y)∈ℝ2}
1.بين أن E زمرة جزئية للزمرة (M2(ℝ),+)0.25
2. a)بين أن E فضاء متجهي جزئي للفضاء المتجهي (M2(ℝ),+,·)0.25
2. b)نضع J=M(0,1). بين أن (I,J) أساس للفضاء المتجهي الحقيقي (E,+,·)0.5
3. a)بين أن E جزء مستقر من (M2(ℝ),×)0.5
3. b)بين أن (E,+,×) حلقة تبادلية.0.5
4. a)ليكن φ التطبيق من ℂ* نحو M2(ℝ) المعرف بما يلي: (∀(x,y)∈ℝ2−{(0,0)}) ; φ(x+iy)=M(x+y,−y)=x+y2y−yx−y. بين أن φ تشاكل من (ℂ*,×) نحو (M2(ℝ),×)0.5
4. b)نضع E*=E−{O}. بين أن: φ(ℂ*)=E*0.5
4. c)استنتج أن (E*,×) زمرة تبادلية.0.25
5.بين أن (E,+,×) جسم تبادلي.0.25
Exercice 2 — الحسابيات
3 pt(s)
ليكن p عددا أوليا بحيث: p=3+4k (k∈ℕ*)
1.بين أن لكل عدد صحيح نسبي x، إذا كان x2≡1 [p] فإن xp−5≡1 [p]0.5
2. a)ليكن x عددا صحيحا نسبيا يحقق: xp−5≡1 [p]. بين أن x و p أوليان فيما بينهما.0.5
2. b)بين أن: xp−1≡1 [p]0.5
2. c)تحقق أن: 2+(k−1)(p−1)=k(p−5)0.5
2. d)استنتج أن: x2≡1 [p]0.5
3.حل في ℤ المعادلة : x62≡1 [67]0.5
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)
ليكن m عددا عقديا.
Partie I
I- نعتبر في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة (Em) ذات المجهول z : z2+(im+2)z+im+2−m=0
Partie II
II- المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O ; u,v). نعتبر النقط A و Ω و M و M′ ذات الألحاق على التوالي a=−1−i و ω=i و m و m′=−im−1+i
1. a)تحقق أن Δ=(im−2i)2 هو مميز المعادلة (Em)0.25
1. b)إعط حسب قيم العدد m مجموعة حلول المعادلة (Em)0.5
2.من أجل m=i√2، اكتب حلي المعادلة (Em) على الشكل الأسي.0.5
1. a)ليكن R الدوران الذي زاويته −π2 و يحول M إلى M′. تحقق أن Ω هو مركز الدوران R0.25
1. b)حدد b لحق النقطة B التي تحقق : A=R(B)0.5
2. a)تحقق أن: m′−a=ω−aω−b(m−b)0.5
2. b)استنتج أن النقط A و M و M′ تكون مستقيمية إذا و فقط إذا كانت النقط A و B و Ω و M متداورة.0.5
2. c)بين أن مجموعة النقط M بحيث تكون النقط A و M و M′ مستقيمية هي دائرة يجب تحديد مركزها و شعاعها.0.5
Exercice 4 — التحليل
7.5 pt(s)
Partie II
الجزء II : نعتبر الدالة f المعرفة على [0,+∞[ بما يلي: f(x)=(x+1x)ln(1+x) ; x≠0f(0)=1 و ليكن (C) منحناها في معلم متعامد ممنظم (O ; i,j)
1. a)بين أن: (∀x∈]0,+∞[) ; ∫0xt1+t dt=x−ln(1+x)0.5
1. b)باستعمال تغيير المتغير : u=t2 بين أن: (∀x∈]0,+∞[) ; ∫0xt1+t dt=12∫0x211+√u du0.5
1. c)استنتج أن: (∀x∈]0,+∞[) ; 12(1+x)≤x−ln(1+x)x2≤120.5
2.حدد : limx→0+x−ln(1+x)x20.25
1. a)بين أن f متصلة على اليمين في 00.25
1. b)بين أن f قابلة للاشتقاق على اليمين في 0 (يمكن استعمال نتيجة السؤال I-2).0.5
1. c)احسب limx→+∞f(x) و limx→+∞f(x)x ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.75
2. a)بين أن f قابلة للاشتقاق على ]0,+∞[ ثم تحقق أن: (∀x∈]0,+∞[) ; f′(x)=x−ln(1+x)x20.5
2. b)استنتج أن f تزايدية قطعا على [0,+∞[0.25
2. c)تحقق أن: f([0,+∞[)=[1,+∞[0.25
3.مثل مبيانيا المنحنى (C) (يتم إنشاء نصف المماس على اليمين في النقطة ذات الأفصول 0).0.5
1. a)نعتبر الدالة العددية g المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي: g(x)=f(x)−x. بين أن: (∀x∈]0,+∞[) ; 0≤f′(x)≤120.5
1. b)استنتج أن الدالة g تناقصية قطعا على ]0,+∞[ ثم بين أن: g(]0,+∞[)=]−∞,1[0.5
1. c)بين أن المعادلة f(x)=x تقبل حلا وحيدا α على المجال ]0,+∞[0.25
2. a)ليكن a عددا حقيقيا من المجال ]0,+∞[. نعتبر المتتالية (un)n≥0 المعرفة بما يلي: u0=a و un+1=f(un) ; (∀n∈ℕ). بين أن: (∀n∈ℕ) ; un>00.25
2. b)بين أن: (∀n∈ℕ) ; |un+1−α|≤12|un−α|0.5
2. c)بين بالترجع أن: (∀n∈ℕ) ; |un−α|≤(12)n|a−α|0.5
2. d)استنتج أن المتتالية (un)n≥0 تؤول إلى α0.25
Exercice 5 — التحليل
2.5 pt(s)
نعتبر الدالة F المعرفة على ℝ بما يلي: F(x)=∫0xet2 dt
1.بين أن F متصلة و تزايدية قطعا على ℝ0.5
2. a)بين أن: (∀x∈]0,+∞[) ; F(x)≥x ثم استنتج limx→+∞F(x)0.5
2. b)بين أن F فردية ثم استنتج limx→−∞F(x)0.5
2. c)بين أن F تقابل من ℝ نحو ℝ0.5
2. d)بين أن دالة التقابل العكسي G للدالة F قابلة للاشتقاق في 0 ثم احسب G′(0)0.5