Sujet national
National 2016 · SM · session rattrapage
RS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
On a deux boites U et V. La boite U contient 4 boules rouges et 4 boules bleues. La boite V contient deux boules rouges et 4 boules bleues. On considère l'épreuve suivante : on tire au hasard une boule de la boite U ; si elle est rouge, on la remet dans la boite V puis on tire au hasard une boule de la boite V ; si elle est bleue on la pose de coté puis on tire une boule de la boite V. Soient les événements suivants : RU « la boule tirée de la boite U est rouge » ; BU « la boule tirée de la boite U est bleue » ; RV « la boule tirée de la boite V est rouge » ; BV « la boule tirée de la boite V est bleue ».
1.Calculer la probabilité de chacun des deux événements RU et BU.0.5
2. a)Calculer la probabilité de l'événement BV sachant que l'événement RU est réalisé.0.5
2. b)Calculer la probabilité de l'événement BV sachant que l'événement BU est réalisé.0.5
3.Montrer que la probabilité de l'événement BV est : 1321.1
4.En déduire la probabilité de l'événement RV.0.5
Exercice 2 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (M3(ℝ),+,×) est un anneau unitaire d'unité I=100010001 et que (ℂ,+,×) est un corps commutatif. Pour chaque nombre complexe z=x+iy où (x,y)∈ℝ2, on pose : M(z)=x+2y05y010−y0x−2y et on considère l'ensemble E={M(z) / z∈ℂ}.
1.On munit E de la loi de composition interne * définie par : (∀z∈ℂ) (∀z′∈ℂ) : M(z)*M(z′)=M(z)+M(z′)−M(0). Montrer que (E,*) est un groupe commutatif.1
2. a)On considère l'application φ:ℂ*→E qui associe au nombre complexe z de ℂ* la matrice M(z) de E. Montrer que φ est un homomorphisme de (ℂ*,×) dans (E,×).1
2. b)En déduire que (E−{M(0)},×) est un groupe commutatif.0.5
3.Montrer que (E,*,×) est un corps commutatif.1
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
On considère dans l'ensemble ℂ l'équation (E) : z2−(1+√3)(1+i)z+4i=0.
1. a)Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est : Δ=[(√3−1)(1−i)]2.0.5
1. b)Écrire sous forme trigonométrique les deux solutions de (E).1
2. a)Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v). On considère les deux points A et B d'affixes respectives a=1+i√3 et b=√3+i. Montrer que l'ensemble (D) des points du plan complexe dont l'affixe z vérifie z=12az est une droite qui passe par le point B.0.75
2. b)Soient M et M′ deux points d'affixes respectives z et z′ tels que : z′=az−b et z≠b. Montrer que : b2(z′−b)(z−b)=2|z−b|2.0.5
2. c)En déduire que la droite (D) est une bissectrice de l'angle (BM,BM′).0.75
Exercice 4 — Analyse
6.5 pt(s)
n est un entier naturel non nul. Soit fn la fonction numérique définie sur l'intervalle ]0,+∞[ par : fn(x)=ln(x)−nx, et soit (Cn) la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthonormé (O,i,j).
1. a)Étudier les deux branches infinies de la courbe (Cn).0.75
1. b)Étudier les variations de la fonction fn sur ]0,+∞[ puis donner son tableau de variation.0.75
1. c)Construire (C2).0.5
2.Montrer que la fonction fn est une bijection de ]0,+∞[ dans ℝ.0.5
3. a)Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, il existe un unique nombre réel αn de l'intervalle ]0,+∞[ tel que : fn(αn)=0.0.5
3. b)Comparer fn(x) et fn+1(x) pour tout x de ]0,+∞[.0.5
3. c)Montrer que la suite (αn)n≥1 est strictement croissante.0.5
4. a)Montrer que : (∀x>0) ; ln(x)<x.0.5
4. b)Montrer que : limn→+∞αn=+∞.0.5
5. a)Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 on pose : In=1αn+1−αn∫αnαn+1fn(x) dx. Montrer que : (∀n∈ℕ*)(∃cn∈[αn,αn+1]) : In=fn(cn).0.5
5. b)Montrer que : (∀n∈ℕ*) ; 0≤In≤1αn+1.0.5
5. c)Déterminer limn→+∞In.0.5
Exercice 5 — Analyse
3.5 pt(s)
n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction numérique gn à variable réelle x définie sur l'intervalle [n,+∞[ par : gn(x)=∫nx1ln t dt.
1. a)Montrer que la fonction gn est dérivable sur l'intervalle [n,+∞[ puis déterminer sa fonction dérivée première g′n.0.5
1. b)Montrer que la fonction gn est strictement croissante sur l'intervalle [n,+∞[.0.25
2. a)Montrer que : (∀x≥n) ; gn(x)≥ln(x−1n−1) (on pourra utiliser l'inégalité : (∀t≥0) ; ln(1+t)≤t).0.5
2. b)En déduire que : limx→+∞gn(x)=+∞.0.25
3. a)Montrer que gn est une bijection de l'intervalle [n,+∞[ dans l'intervalle [0,+∞[.0.25
3. b)En déduire que : (∀n≥2) (∃! un≥n) : ∫nun1ln t dt=1.0.5
4. a)On considère la suite numérique (un)n≥2 définie dans la question 3-b). Montrer que : (∀n≥2) ; ∫unun+11ln t dt=∫nn+11ln t dt.0.5
4. b)En déduire que la suite (un)n≥2 est strictement croissante.0.5
4. c)Déterminer limn→+∞un.0.25