موضوع وطني
National 2016 · SM · session rattrapage
RS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
لدينا صندوقان U و V. الصندوق U يحتوي على 4 كرات حمراء و 4 كرات زرقاء؛ الصندوق V يحتوي على كرتين حمراوين و 4 كرات زرقاء. نعتبر التجربة التالية: نسحب عشوائيا كرة من الصندوق U : إذا كانت حمراء، نضعها في الصندوق V ثم نسحب عشوائيا كرة من الصندوق V ؛ و إذا كانت زرقاء، نضعها جانبا؛ ثم نسحب عشوائيا كرة من الصندوق V. لتكن الأحداث التالية: RU : «الكرة المسحوبة من الصندوق U حمراء»؛ BU : «الكرة المسحوبة من الصندوق U زرقاء»؛ RV : «الكرة المسحوبة من الصندوق V حمراء»؛ BV : «الكرة المسحوبة من الصندوق V زرقاء»؛
1.أحسب احتمال كل من الحدثين RU و BU.0.5
2. a)أحسب احتمال الحدث BV علما أن الحدث RU محقق.0.5
2. b)أحسب احتمال الحدث BV علما أن الحدث BU محقق.0.5
3.بين أن احتمال الحدث BV هو : 13211
4.استنتج احتمال الحدث RV.0.5
Exercice 2 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)
نذكر أن (M3(ℝ),+,×) حلقة واحدية وحدتها I=100010001 و أن (ℂ,+,×) جسم تبادلي. لكل عدد عقدي z=x+iy حيث (x,y)∈ℝ2 نضع : M(z)=x+2y05y010−y0x−2y و نعتبر المجموعة E={M(z) / z∈ℂ}
1.نزود المجموعة E بقانون تركيب الداخلي * المعرف بما يلي: (∀z∈ℂ) (∀z′∈ℂ) : M(z)*M(z′)=M(z)+M(z′)−M(0). بين أن (E,*) زمرة تبادلية.1
2. a)نعتبر التطبيق : φ:ℂ*→E الذي يربط كل عدد عقدي z من ℂ* بالمصفوفة M(z). بين أن φ تشاكل من (ℂ*,×) نحو (E,×)1
2. b)استنتج أن (E−{M(0)},×) زمرة تبادلية.0.5
3.بين أن (E,*,×) جسم تبادلي.1
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)
نعتبر في المجموعة ℂ المعادلة التالية: (E) : z2−(1+√3)(1+i)z+4i=0
1. a)تحقق أن مميز المعادلة (E) هو: Δ=[(√3−1)(1−i)]20.5
1. b)أكتب على الشكل المثلثي كل حل من حلي المعادلة (E)1
2. a)المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد و ممنظم و مباشر (O,u,v). نعتبر النقطتين A و B التي لحقيهما على التوالي a=1+i√3 و b=√3+i. بين أن (D) مجموعة النقط من المستوى العقدي التي لحقها z يحقق : z=12az هي مستقيم يمر من النقطة B0.75
2. b)لتكن M و M′ نقطتان لحقاهما على التوالي z و z′ بحيث: z′=az−b و z≠b. بين أن : b2(z′−b)(z−b)=2|z−b|20.5
2. c)استنتج أن المستقيم (D) هو منصف الزاوية (BM,BM′)0.75
Exercice 4 — التحليل
6.5 pt(s)
n عدد صحيح طبيعي غير منعدم. نعتبر الدالة العددية fn المعرفة على المجال ]0,+∞[ بما يلي: fn(x)=ln(x)−nx و ليكن (Cn) المنحنى الممثل للدالة fn في معلم متعامد و ممنظم (O,i,j).
1. a)أدرس الفرعين اللانهائيين للمنحنى (Cn)0.75
1. b)أدرس تغيرات الدالة fn على ]0,+∞[ ثم أعط جدول تغيراتها.0.75
1. c)أنشئ (C2)0.5
2.بين أن الدالة fn تقابل من ]0,+∞[ نحو ℝ0.5
3. a)بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي n أكبر من أو يساوي 1، يوجد عدد حقيقي وحيد αn من المجال ]0,+∞[ بحيث: fn(αn)=00.5
3. b)قارن fn(x) و fn+1(x) لكل x من ]0,+∞[0.5
3. c)بين أن المتتالية (αn)n≥1 تزايدية قطعا.0.5
4. a)بين أن: (∀x>0) ; ln(x)<x0.5
4. b)بين أن : limn→+∞αn=+∞0.5
5. a)لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n نضع: In=1αn+1−αn∫αnαn+1fn(x) dx. بين أن : (∀n∈ℕ*)(∃cn∈[αn,αn+1]) : In=fn(cn)0.5
5. b)بين أن : (∀n∈ℕ*) ; 0≤In≤1αn+10.5
5. c)حدد: limn→+∞In0.5
Exercice 5 — التحليل
3.5 pt(s)
n عدد صحيح طبيعي أكبر من أو يساوي 2. نعتبر الدالة العددية gn ذات المجهول x المعرفة على المجال [n,+∞[ بما يلي: gn(x)=∫nx1ln t dt
1. a)بين أن الدالة gn قابلة للاشتقاق على المجال [n,+∞[ ثم حدد دالتها المشتقة الأولى g′n0.5
1. b)بين أن الدالة gn تزايدية قطعا على المجال [n,+∞[0.25
2. a)بين أن: (∀x≥n) ; gn(x)≥ln(x−1n−1) (يمكنك استعمال المتفاوتة التالية: (∀t≥0) ; ln(1+t)≤t)0.5
2. b)استنتج أن: limx→+∞gn(x)=+∞0.25
3. a)بين أن الدالة gn تقابل من المجال [n,+∞[ نحو المجال [0,+∞[0.25
3. b)استنتج أن: (∀n≥2) (∃! un≥n) : ∫nun1ln t dt=10.5
4. a)نعتبر المتتالية العددية (un)n≥2 المعرفة في السؤال 3- ب). بين أن: (∀n≥2) ; ∫unun+11ln t dt=∫nn+11ln t dt0.5
4. b)استنتج أن المتتالية (un)n≥2 تزايدية قطعا.0.5
4. c)حدد limn→+∞un0.25