Sujet national
National 2016 · SM · session normale
NS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
On rappelle que (M3(ℝ),+,×) est un anneau unitaire d'unité I=100010001 et que (ℂ,+,×) est un corps commutatif. Pour tout (x,y) de ℝ2 on pose : M(x,y)=x+y0−2y000y0x−y et E={M(x,y) ; (x,y)∈ℝ2}.
1.Montrer que E est un sous-groupe du groupe (M3(ℝ),+).0.5
2.Vérifier que : (∀(x,y)∈ℝ2) (∀(x′,y′)∈ℝ2) : M(x,y)×M(x′,y′)=M(xx′−yy′, xy′+yx′).0.5
3. a)On pose E*=E−{M(0,0)} et on considère l'application φ:ℂ*→E qui au nombre complexe z=x+iy associe la matrice M(x,y) de E, avec (x,y)∈ℝ2. Montrer que φ est un homomorphisme de (ℂ*,×) vers (E,×).0.25
3. b)En déduire que (E*,×) est un groupe commutatif d'élément neutre M(1,0).0.75
4.Montrer que (E,+,×) est un corps commutatif.0.5
5. a)On pose A=000010000. Calculer A×M(x,y) pour M(x,y)∈E.0.5
5. b)En déduire qu'aucun élément de E n'admet de symétrique dans (M3(ℝ),×).0.5
Exercice 2 — Arithmétique
3 pt(s)
Partie I
Soit (a,b) dans ℕ*×ℕ* tel que le nombre premier 173 divise a3+b3.
Partie II
On considère dans ℕ*×ℕ* l'équation suivante : (E) : x3+y3=173(xy+1). Soit (x,y) un élément de ℕ*×ℕ* solution de (E) ; on pose x+y=173k avec k∈ℕ*.
1.Montrer que : a171≡−b171 [173] (remarquer que : 171=3×57).0.25
2.Montrer que : 173 divise a si et seulement si 173 divise b.0.25
3.On suppose que 173 divise a. Montrer que 173 divise a+b.0.25
4. a)On suppose que 173 ne divise pas a. En utilisant le théorème de Fermat, montrer que : a172≡b172 [173].0.5
4. b)Montrer que : a171(a+b)≡0 [173].0.5
4. c)En déduire que 173 divise a+b.0.5
1.Vérifier que : k(x−y)2+(k−1)xy=1.0.25
2.Montrer que k=1 puis résoudre l'équation (E).0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v). On considère dans le plan complexe deux points M1 et M2 tels que les points O, M1 et M2 sont distincts deux à deux et non alignés. Soient z1 et z2 les affixes respectives des points M1 et M2, et soit M le point dont l'affixe z vérifie la relation : z=2z1z2z1+z2.
1. a)Montrer que : z1−zz2−z×z2z1=−1.0.5
1. b)En déduire que le point M appartient au cercle circonscrit au triangle OM1M2.0.5
2.Montrer que si z2=z1 alors M appartient à l'axe des réels.0.5
3. a)On suppose que M2 est l'image de M1 par la rotation de centre O et de mesure d'angle α, où α est un réel de l'intervalle ]0,π[. Calculer z2 en fonction de z1 et de α.0.5
3. b)Montrer que le point M appartient à la médiatrice du segment [M1M2].0.5
4. a)Soit θ un réel donné de l'intervalle ]0,π[. On suppose que z1 et z2 sont les deux solutions de l'équation : 6t2−(eiθ+1)t+(eiθ−1)=0. Sans calculer z1 et z2, vérifier que : z=2 eiθ−1eiθ+1.0.5
4. b)Donner, en fonction de θ, la forme trigonométrique du nombre complexe z.0.5
Exercice 4 — Analyse
7 pt(s)
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur [0,+∞[ par :f(x)=xexex−1si x>01si x=0,et soit (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i,j).
Partie III
On considère la suite numérique (un)n≥0 définie par : u0>0 et un+1=ln(f(un)) pour n∈ℕ.
1.En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction t↦e−t, montrer que pour tout réel strictement positif x, il existe un réel θ compris entre 0 et x tel que : eθ=x1−e−x.0.5
2. a)En déduire que : (∀x>0) ; 1−x<e−x.0.25
2. b)En déduire que : (∀x>0) ; x+1<ex.0.25
2. c)En déduire que : (∀x>0) ; 0<ln(xexex−1)<x.0.25
1. a)Montrer que la fonction f est continue à droite en 0.0.5
1. b)Montrer que : limx→+∞(f(x)−x)=0 puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
2. a)Montrer que : (∀x≥0) x−x22≤−e−x+1 (on pourra utiliser le résultat de la question 2-a) de la première partie).0.25
2. b)En déduire que : (∀x≥0) x22−x36≤e−x+x−1≤x22.0.5
3. a)Vérifier que : (∀x>0) f(x)−1x=e−x+x−1x2 f(x).0.5
3. b)En déduire que : limx→0+f(x)−1x=12 puis interpréter le résultat obtenu.0.75
4. a)Montrer que f est dérivable en tout point de ]0,+∞[ et que : (∀x>0) f′(x)=ex(ex−1−x)(ex−1)2.0.75
4. b)En déduire que la fonction f est strictement croissante sur [0,+∞[ (on pourra utiliser le résultat de la question 2-b) de la première partie).0.5
a.Montrer que pour tout entier naturel n on a : un>0.0.5
b.Montrer que la suite (un)n≥0 est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente (on pourra utiliser le résultat de la question 2-c) de la première partie).0.5
c.Montrer que 0 est l'unique solution de l'équation : ln(f(x))=x puis déterminer la limite de la suite (un)n≥0.0.5
Exercice 5 — Analyse
3 pt(s)
On considère la fonction numérique F définie sur l'intervalle I=]0,+∞[ par : F(x)=∫ln 2x1√et−1 dt.
1. a)Étudier le signe de F(x) pour tout x de I.0.5
1. b)Montrer que la fonction F est dérivable sur l'intervalle I et calculer F′(x) pour tout x de I.0.5
1. c)Montrer que la fonction F est strictement croissante sur l'intervalle I.0.25
2. a)En utilisant la technique de changement de variable en posant u=√et−1, montrer que pour tout x de I on a : ∫ln 2x1√et−1 dt=2arctan√ex−1−π2.0.5
2. b)Calculer limx→0+F(x) et limx→+∞F(x).0.5
3. a)Montrer que la fonction F est une bijection de l'intervalle I dans un intervalle J que l'on déterminera.0.25
3. b)Déterminer F−1, la bijection réciproque de F.0.5