موضوع وطني
National 2016 · SM · session normale
NS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)
نذكر أن (M3(ℝ),+,×) حلقة واحدية وحدتها I=100010001 و أن (ℂ,+,×) جسم تبادلي. لكل (x,y) من ℝ2، نضع: M(x,y)=x+y0−2y000y0x−y و E={M(x,y) ; (x,y)∈ℝ2}
1.بين أن E زمرة جزئية للزمرة (M3(ℝ),+)0.5
2.تحقق أن: (∀(x,y)∈ℝ2) (∀(x′,y′)∈ℝ2) : M(x,y)×M(x′,y′)=M(xx′−yy′, xy′+yx′)0.5
3. a)نضع E*=E−{M(0,0)} ونعتبر التطبيق: φ:ℂ*→E الذي يربط العدد العقدي z=x+iy بالمصفوفة M(x,y) من E، حيث الزوج (x,y) من ℝ2. بين أن φ تشاكل من (ℂ*,×) نحو (E,×)0.25
3. b)استنتج أن (E*,×) زمرة تبادلية و أن عنصرها المحايد هو M(1,0)0.75
4.بين أن (E,+,×) جسم تبادلي.0.5
5. a)نضع A=000010000. أحسب A×M(x,y) من أجل M(x,y) عنصر من E0.5
5. b)استنتج أن كل عنصر من عناصر E لا يقبل مماثلا في (M3(ℝ),×)0.5
Exercice 2 — الحسابيات
3 pt(s)
Partie I
الجزء الأول: ليكن (a,b) عنصرا من ℕ*×ℕ* بحيث العدد الأولي 173 يقسم a3+b3
Partie II
الجزء الثاني: نعتبر في ℕ*×ℕ* المعادلة التالية: (E) : x3+y3=173(xy+1). ليكن (x,y) عنصرا من ℕ*×ℕ* حلا للمعادلة (E) ؛ نضع: x+y=173k، حيث k∈ℕ*
1.بين أن: a171≡−b171 [173] (لاحظ أن: 171=3×57)0.25
2.بين أن: 173 يقسم a إذا و فقط إذا كان 173 يقسم b0.25
3.نفترض أن 173 يقسم a. بين أن 173 يقسم a+b0.25
4. a)نفترض أن 173 لا يقسم a. باستعمال مبرهنة فيرما بين أن: a172≡b172 [173]0.5
4. b)بين أن: a171(a+b)≡0 [173]0.5
4. c)استنتج أن 173 يقسم a+b0.5
1.تحقق أن: k(x−y)2+(k−1)xy=10.25
2.بين أن: k=1 ثم حل المعادلة (E).0.5
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)
المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد و ممنظم و موجه (O,u,v). نعتبر نقطتين M1 و M2 من المستوى العقدي بحيث النقط O و M1 و M2 مختلفة مثنى مثنى وغير مستقيمية. ليكن z1 و z2 لحقي M1 و M2 على التوالي و لتكن M النقطة التي لحقها z يحقق العلاقة : z=2z1z2z1+z2
1. a)بين أن: z1−zz2−z×z2z1=−10.5
1. b)استنتج أن النقطة M تنتمي إلى الدائرة المحيطة بالمثلث OM1M20.5
2.بين أنه إذا كانت z2=z1 فإن M تنتمي إلى المحور الحقيقي.0.5
3. a)نفترض أن M2 هي صورة M1 بالدوران r الذي مركزه O و قياس زاويته α حيث α ينتمي إلى ]0,π[. احسب z2 بدلالة z1 و α0.5
3. b)استنتج أن النقطة M تنتمي إلى واسط القطعة [M1M2]0.5
4. a)ليكن θ عددا حقيقيا معلوما من ]0,π[. نفترض أن z1 و z2 هما حلا المعادلة : 6t2−(eiθ+1)t+(eiθ−1)=0. بدون حساب z1 و z2 تحقق أن: z=2 eiθ−1eiθ+10.5
4. b)أعط الصيغة المثلثية للعدد العقدي z بدلالة θ.0.5
Exercice 4 — التحليل
7 pt(s)
Partie II
الجزء الثاني: نعتبر الدالة العددية f المعرفة على المجال [0,+∞[ بما يلي: f(0)=1 و f(x)=xexex−1 إذا كان x>0، و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O,i,j).
Partie III
الجزء الثالث: نعتبر المتتالية العددية (un)n≥0 المعرفة بما يلي: u0>0 و un+1=ln(f(un)) لكل عدد صحيح طبيعي n
1.بتطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية على الدالة t↦e−t، بين أنه لكل عدد حقيقي موجب قطعا x يوجد عدد حقيقي θ محصور بين 0 و x بحيث : eθ=x1−e−x0.5
2. a)استنتج أن: (∀x>0) ; 1−x<e−x0.25
2. b)استنتج أن: (∀x>0) ; x+1<ex0.25
2. c)استنتج أن: (∀x>0) ; 0<ln(xexex−1)<x0.25
1. a)بين أن الدالة f متصلة على اليمين في 00.5
1. b)بين أن: limx→+∞(f(x)−x)=0 ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5
2. a)بين أن: (∀x≥0) x−x22≤−e−x+1 (يمكنك استعمال نتيجة السؤال 2- أ) من الجزء الأول)0.25
2. b)استنتج أن: (∀x≥0) x22−x36≤e−x+x−1≤x220.5
3. a)تحقق أن: (∀x>0) f(x)−1x=e−x+x−1x2 f(x)0.5
3. b)استنتج أن: limx→0+f(x)−1x=12 ثم أول النتيجة المحصل عليها.0.75
4. a)بين أن الدالة f قابلة للاشتقاق على المجال ]0,+∞[ و أن (∀x>0) f′(x)=ex(ex−1−x)(ex−1)20.75
4. b)استنتج أن الدالة f تزايدية قطعا على [0,+∞[. (يمكنك استعمال نتيجة السؤال 2- ب) من الجزء الأول)0.5
a.بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي n لدينا: un>00.5
b.بين أن المتتالية (un)n≥0 تناقصية قطعا ثم استنتج أنها متقاربة. (يمكنك استعمال نتيجة السؤال 2- ج) من الجزء الأول)0.5
c.بين أن 0 هو الحل الوحيد للمعادلة : ln(f(x))=x ثم حدد نهاية المتتالية (un)n≥00.5
Exercice 5 — التحليل
3 pt(s)
نعتبر الدالة العددية F المعرفة على المجال I=]0,+∞[ بما يلي: F(x)=∫ln 2x1√et−1 dt
1. a)أدرس إشارة F(x) لكل x من I0.5
1. b)بين أن الدالة F قابلة للاشتقاق على المجال I و احسب F′(x) لكل x من I.0.5
1. c)بين أن الدالة F تزايدية قطعا على المجال I0.25
2. a)باستعمال تقنية تغيير المتغير و ذلك بوضع: u=√et−1، بين أنه لكل x من I لدينا: ∫ln 2x1√et−1 dt=2arctan√ex−1−π20.5
2. b)احسب: limx→0+F(x) و limx→+∞F(x)0.5
3. a)بين أن الدالة F تقابل من المجال I نحو مجال J يتم تحديده.0.25
3. b)حدد التقابل العكسي F−1 للتقابل F.0.5