Sujet national
National 2015 · SM · session rattrapage
RS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
4 pt(s)
Partie I
Première partie. On munit ℝ de la loi de composition interne * définie par : (∀(x,y)∈ℝ2) x*y=x+y−exy+1.
Partie II
Deuxième partie. On rappelle que (M2(ℝ),+,×) est un anneau unitaire non commutatif d'unité I=1001, que (M2(ℝ),+,·) est un espace vectoriel réel et que (ℂ*,×) est un groupe commutatif. Pour tout x et y réels, on pose M(x,y)=x−2yy2x et soit F={M(x,y) / (x,y)∈ℝ2}.
1. a)Montrer que la loi * est commutative dans ℝ.0.25
1. b)Montrer que la loi * admet un élément neutre que l'on déterminera.0.5
2.Sachant que l'équation 3+x−e2x=0 admet dans ℝ deux solutions distinctes a et b, montrer que la loi * n'est pas associative dans ℝ.0.5
1.Montrer que F est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel réel (M2(ℝ),+,·).0.5
2.Montrer que F est stable dans (M2(ℝ),×).0.5
3. a)On considère l'application φ de ℂ* dans F qui associe à tout nombre complexe x+iy (où x et y sont deux réels) la matrice M(x,y). Montrer que φ est un homomorphisme de (ℂ*,×) vers (F,×).0.5
3. b)On pose F*=F−{M(0,0)}. Montrer que φ(ℂ*)=F*.0.25
3. c)Montrer que (F*,×) est un groupe commutatif.0.25
4.Montrer que (F,+,×) est un corps commutatif.0.75
Exercice 2 — Arithmétique
3 pt(s)
Partie I
Partie I. On considère dans ℤ l'équation (E) : x2015≡2 [13].
Partie II
Partie II. Une urne contient 50 boules portant les numéros de 1 à 50 (les boules sont indiscernables au toucher). L'équation (E) est celle de la partie I : x2015≡2 [13].
1.a étant un entier, montrer que si a et 13 sont premiers entre eux alors a2016≡1 [13].0.5
2. a)On considère dans ℤ l'équation (E) : x2015≡2 [13] et soit x une solution de l'équation (E). Montrer que x et 13 sont premiers entre eux.0.5
2. b)Montrer que : x≡7 [13].0.5
3.Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est S={7+13k / k∈ℤ}.0.5
1.On tire au hasard une boule de l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule portant un numéro qui est solution de l'équation (E) ?0.5
2.On tire au hasard une boule de l'urne, on note son numéro, puis on la remet dans l'urne. On répète l'expérience précédente 3 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois une boule portant un numéro qui est solution de l'équation (E) ?0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3 pt(s)
On considère dans l'ensemble ℂ l'équation suivante (E) : z2−(1+i)z+2+2i=0. Dans la question 2, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ; on considère le point A d'affixe z1 et le point B d'affixe z2.
1. a)Vérifier que (1−3i)2 est le discriminant de l'équation (E).0.25
1. b)Déterminer z1 et z2 les deux solutions de l'équation (E) dans l'ensemble ℂ (on prendra z1 imaginaire pur).0.5
1. c)Montrer que : z1z2=√2 ei3π4.0.5
2. a)Déterminer le nombre complexe e affixe du point E milieu du segment [AB].0.25
2. b)Soit r la rotation de centre A et d'angle (−π2) et soit c l'affixe du point C image du point E par la rotation r. Montrer que : c=−32+32i.0.5
2. c)On considère D le point d'affixe d=1+32i. Montrer que le nombre (z2−dc−d)×(c−z1z2−z1) est réel puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.1
Exercice 4 — Analyse
6 pt(s)
Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn à variable réelle x définie sur ℝ par fn(x)=11+e−32(x−n). Soit (Cn) la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthonormé (O,i,j).
1. a)Calculer limx→+∞fn(x) et limx→−∞fn(x), puis interpréter graphiquement les résultats obtenus.0.75
1. b)Montrer que la fonction fn est dérivable sur ℝ puis calculer fn′(x) pour tout x de ℝ.0.75
1. c)Montrer que la fonction fn est strictement croissante sur ℝ.0.25
2. a)Montrer que le point In(n,12) est le centre de symétrie de la courbe (Cn).0.5
2. b)Construire la courbe (C1).0.5
2. c)Calculer l'aire de la surface plane limitée par la courbe et les droites d'équations : x=0, x=1 et y=0.0.75
3. a)Pour tout n de ℕ*, montrer que l'équation fn(x)=x admet une solution unique un dans l'intervalle ]0,n[.0.75
3. b)Montrer que : (∀n∈ℕ*)(∀x∈ℝ) fn+1(x)<fn(x).0.5
3. c)Monter que la suite (un)n≥1 est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.0.75
3. d)Calculer limn→+∞un.0.5
Exercice 5 — Analyse
4 pt(s)
On considère la fonction g définie sur ℝ* par g(x)=∫x3xcos tt dt.
1.Montrer que la fonction g est paire.0.5
2.Montrer que la fonction g est dérivable sur ]0,+∞[ puis calculer g′(x) pour x>0.0.75
3. a)En utilisant une intégration par parties, vérifier que : ∫x3xcos tt dt=sin 3x−3sin x3x+∫x3xsin tt2 dt.0.5
3. b)Montrer que : (∀x>0) |g(x)|≤2x, puis en déduire limx→+∞g(x).0.75
4. a)Montrer que : (∀x>0) 0≤∫x3x1−cos tt dt≤2x (remarquer que : (∀t>0) 1−cos t≤t).0.5
4. b)Vérifier que : (∀x>0) g(x)−ln 3=∫x3xcos t−1t dt.0.5
4. c)En déduire limx→0+g(x).0.5